照相物镜设计

第五章第五章 照相物镜设计照相物镜设计5.1 照相物镜的发展及其基本结构在照相物镜设计中，类型的选择预先确定了设计成败的可能性，物镜的选型不仅对初级像差，而且对高级像差也是十分有关的，因此选型很重要。1. 风景摄影物镜最早出现的照相物镜在1812年，是单片的正月牙透镜，相对孔径小于1：14，视场50度以内，可用于室外照明良好的条件下拍照1821年出现了胶合的透镜，代替了弯月牙形的单透镜，双胶合透镜因色差得到校正成像质量有所提高，但制作成本比较高。正、负透镜分离的形式可以得到更好的成像质量，因为双分离情形下可以更好地校正像散。2. 匹兹堡人像物镜1840年匹兹堡设计出了一个相对孔径为1：3.4，视场为25度左右的物镜，即匹兹堡人像物镜，该物镜可用于室内摄影，是第一个依靠设计而制造出来的照相物镜。匹兹堡物镜是1910年以前的所有物镜中相对孔径最大的，它在近轴部分的成像质量优良，至今仍在用作电影放映物镜等须要大孔径小视场的场合。匹兹堡物镜的改进型式很多，是现在五大类物镜中的一类。3. 对称型物镜最早出现的对称型物镜，相对孔径很小，如斯坦赫尔的潜望镜头，相对孔径为1：30，视场为70度，只能用作风景摄影。海普岗是这种类型的极限结构，是冯虚格在1900年设计出的，两个透镜的外表几乎是半球面，具有140度左右的视场，相对孔径很小1：30，但它具有大的无畸变视场，至今仍用在航测仪器中。到1866年，像差理论的发展，使人们认识到对称的胶合透镜可以把像差校正得很好，设计出了右图所示的物镜，其相对孔径为1：8，视场为50度，物镜的球差、色差和慧差都有很好的校正，畸变和倍率色差也因结构对称而不大。重钡冕玻璃的出现使得在1890年设计出了普罗塔物镜，该物镜以其校正了匹兹堡和及像散而优于之前的所有物镜，它的相对孔径在1：4.5-1：18之间，视场为40-90度，由它拍摄的整张照片都是清晰的。利用新老玻璃的组合，生产出了质量更好的达岗（1892）和双普罗塔（1894）。这两种物镜至今还在生产，其相对孔径为1：6，视场为60度。这种物镜的自由度较多，每一半都可以单独校正像差，因而一个物镜可作为二种焦距的物镜使用。从达岗出发，把靠近光阑的二透镜从胶合组里分离出来，利用多出的自由度设计出了1：4和70度视场的结果，这种物镜至今仍是主要的航摄物镜之一。4. 三片式物镜1893年，塔克洛尔（H.D Tealor ）用分离薄透镜作为对称型的一半，设计出了柯克三片式物镜，这是能校正所有像差的一种最简单的结构，在非对称情况下，其独立变数恰能校正七种像差。这种类型现在已具有相对孔径1：4，视场50度的光学性能。如果视场减小时，相对孔径可达1：2.8，现在它仍然是一种比较流行的物镜。1902年出现的天塞物镜，可看作是三式的后面一块正透镜改为二块玻璃胶合的结果，它在高级像差方面要比三片式好。天塞的光学结构简单，实用，它的解像力高，反差适中，畸变小，获得了“鹰眼”的美誉，当年被蔡司公司尊为头号镜头，一切蔡司公司所生产的顶级相机全部配备天塞镜头将三片式中的单透镜改为双胶合的设计比较多，海里亚物镜就是其中的一种，是美国在二战中用得最多的夜航摄物镜，它利用二胶合面把高级慧差和带球差校正得很好。5. 双高斯物镜（Planar）双高斯与达岗等对称物镜不同，它是用薄透镜加厚透镜的结构。由于具有小半径的厚透镜处在薄透镜后的会聚光中，近于不晕位置，因此它的像差和带像差都有所缩小，相对孔径比较大。它是现在1：2物镜的主要结构，在视场缩小时，可得到1：1.4的结果，稍复杂化后，可得到更大的相对孔径，达1：0.85，这一类型的物镜是目前普遍使用的物镜，也是最受欢迎的物镜。6. 摄远物镜用正负二透镜组所构成能使摄影物长度减短的都称为摄远物镜。摄远物镜是在第二次世界大战中为了侦察摄影的需要而发展的。比较著名的有蔡司公司的“远摄天塞”，相对孔径1：6.3，视场35-40度。改进的“泰来康”，相对孔径1：6.3，视场30度，畸变小于0.2%。美国在二战中也生产了大量的摄远物镜，如右图所示，其为焦距1米，相对孔径1：8及焦距1米，相对孔径1：5.6的物镜。7. 反摄远物镜在电影摄影中，常常用到短焦距物镜，为了在物镜后面能安装取景棱镜，因而要求有长的像方顶焦距。这就需要使用所谓的反摄远物镜，其是由正负透镜组分离组成，负透镜位于正透镜之前，从而使主平面后移至物镜后方，达到像方顶焦距大于焦距的目的。8. 广角物镜9. 变焦距物镜广角物镜是以海里的全天照相物镜出发的，其视场很大。5.2 照相物镜的光学特性照相物镜的光学特性，主要由三个因素表征：照相物镜的焦距、相对孔径和视场角。（1）焦距：照相物镜焦距的大小，决定了照片上的像和实际物体之间的比例。光学系统的垂轴放大率：ylyl对于一般相机，物距都比较大，而镜头的焦距一般比较小，因此像平面靠近焦平面，像距近似与焦距相等，因此：fl此式说明照相机的放大率与焦距成正比，而与物距成反比。由于用途不同，照相物镜的焦距也不相同。通常照相物镜的焦距标准如下：物镜类型物镜焦距f/mm鱼眼物镜7.5、15超广角物镜17、20广角物镜24、28、35标准物镜50短望远物镜85、100望远物镜135、200、300超望远物镜400、500、600、800、1200（2）相对孔径：D f 照相物镜中只有很少几种如微缩物镜和制版物镜追求高分辨率，多数照相物镜因其接收器本身的分辨率不高，相对孔径的作用并不是为了提高物镜的分辨率，而是为了提高像面光照度：照相物镜的相对孔径，决定其受衍射限制的最高分辨率和像面光照度，最高分辨率即通常所说的截止频率：2D fuN214ELD f 为物镜透过率上式表明像面照度与相对孔径的平方成正比。照相物镜按其相对孔径的大小可分为：a)弱光物镜：相对孔径小于1：9b) 普通物镜：相对孔径为1：9-1：3.5c)强光物镜：相对孔径为1：3.5-1：1.4d) 超强光物镜：相对孔径大于1：1.4在实际的相机中，为了在不同条件下获得适当的光照度，物镜的孔径光阑是连续可变的，其变化档次是以 为公比的等比级数排列，即像面光照度每档次之间相差1/2倍。通常把相对孔径归化为下表所示的规格，并把相对孔径的倒数称为F数或F光圈12相对孔径1:11:1.41:21:2.81:41:5.61:81:111:161:221:32F数11.422.845.6811162232F光圈只标明物镜的名义相对孔径，称为光阑指数，如考虑到光学系统的透过率的影响，那么标明实际相对孔径的有效光阑指数则为FTT为光圈（3）视场角：2照相机物镜的视场角决定了被摄景物的范围。在画面大小一定的条件下，视场角直接和物镜的焦距有关。根据无限远物体的理想像高公式：tanyf 由此可以看出，具有较长焦距的物镜，只能有较小的视场，而短焦距的物镜，则须是广角的。在一定的成像质量要求下，照相物镜的三个光学特性参数之间，存在着相互制约的关系。在物镜结构的复杂程度大致相同的情况下，提高其中任意一个光学特性，则必然使其它两个光学特性降低。前苏联的伏洛索夫研究了若干优良物镜后，曾得出一个经验公式来表示三个特性之间的关系，其公式为：按视场角的大小，照相物镜又分为：a)小视场物镜：视场角在30度以下b) 中视场物镜：视场角在30-60度之间c)广角物镜：视场角在60-90度之间d) 超广角物镜：视场角在90度以上tan100mfD fC对多数照相物镜而言，Cm差不多是个常数，约为0.24左右。既然照相物镜的三个光学特性参数代表了一个物镜的性能指标，那么它们的积：tan2 tan2fD fyLL为拉赫不变量因此，拉赫不变量可以表征一个物镜总的性能指标现代中等复杂程度的照相物镜，随着相对孔径的减小，视场角增加的情况如下表（焦距为100mm时）：总体来看，照相物镜的突出特点是视场和相对孔径都比较大的光学系统，因此在设计照相物镜时，一般来说七类像差都需要校正，同时照相物镜还要求在一定程度上校正高级像差。5.3塞洛（Celor）物镜的设计塞洛物镜是由一对对称的双分离消色差物镜构成，采用双分离型式，可以提供更多的自变量，便于像差的校正。对于一个结构完全对称，放大率为-1的系统，其慧差、畸变和垂轴色差左右两个半部大小相等、符号相反而自动抵消，而球差、像散、场曲和轴向色差则是左右两个半部相互叠加。设计一个对称系统可从后半部开始。对于塞洛物镜，后半部有五个变量，四个曲率半径，一个空气间隔，可以校正系统的焦距、球差、像散、场曲及轴向色差。u 光焦度的一般公式对于二组元系统，其光焦度公式为：121 2t对于多组元系统，光焦度公式可通过下面的过程推导：设10u 则11 12uyu 在第二个面：2222uuy 因此：21 122uyy 将两组元结构看作一个系统，则：21uy 因此：1 12211yyy更一般地：11iiiyyu Celor 透镜关系式及 Celor 方程在设计Celor透镜时，后半部光焦度需要满足消色差及匹兹堡和的关系：221 0 ababaabbabPaababyyyyyvvnn由上面三个等式可以推导出Celor方程。从第一个等式可得：aabbyy将此式代入第二个等式：22120baaaabbvvvv从第三个等式可得：abPbann因此：22120Paabaaaabbnnvvvv整理后可得：2220b baaPb baaaan vvn vvvn此式即为Celor方程从Celor方程可解出光焦度：242abbaca 2 2 babPb baaanavvbn vvcvn下面看一个具体的计算例子ab0.010P1.6056243.931.6127258.63aabbnvnv1.6127243.9358.6314.961.60562a 2 43.93 0.010.8786b 243.93 0.010.004393c 0.06336a 第一个透镜为负透镜，因此取负值，由此可计算出b的光焦度及两透镜的间隔t：0.06364b2.41ababt 确定透镜的四个曲率假设两个透镜的曲率都分别相同，则光焦度公式121nCC可求出两个透镜的曲率半径：123419.116793 19.255814RRRR 将上述半径插入到ZEMAX中，并设EPD10（f/10），视场（2w）为5度在透镜不加厚度的情况下可得出：12100 15.783 15.713fff 像差系数：由此可看出场曲、轴向色差为0，但球差与像散不为0，主要原因是我们在求四个曲率半径时没有考虑消球差与像散。在这种情况下对其优化，校正球差、像散，同时将光阑移到第一面前2.5处，优化函数如下：优化结果和像差系数如下：初始结构也可以根据初级球差及像散公式求解，具体如下：2IuSA yyPn 2()IIuuSAByA yALyPLWnn 在第三章中我们将球差与慧差用下式表示：其中：33222211 42AnunyCBnunyCPyaXbXYcYdWyeXfY对于像散：2IIIuSB yn 222222221112nuynyyCB ynunyCynuyy AnuyyyyLAyALALyyyynyCAnuLnuynuy因此：22222122IIIyyuyySALALPLWLyyynyy 在半部设计要求消球差与消像散，因此1 1222222112211122211220 220IIIISy Py PyyyySPLWLPLWLyyyy当光阑位于第一面前2.5处，半视场为2.5度，入瞳直径为10，间隔t=2.41，相关参数如下：11115 0 0.04363 (2.5 ) 2.5zyuul 即11 1111 121111110.10908 -0.05055 0.23090.21817zyl uuuyyyu tLnu ynu y 2111 121122220.31684 5.76357 0.05uuuyyyu tuuy 将P、W的表达式代入上述方程组得：432432211111111222222222222233222121111112222222222221222222222120140ya Xb Xcdya Xb X Yc Ydyy yy y Le Xfya Xb X Yc Ydyyy y Le Xf YL其中222220.7274uuYuu a1、a2等系数与玻璃相关，当玻璃选定后其为常数，该方程组是关于X1、X2的二元二次方程组，实数解通常有四个。选用前面的玻璃na=1.60562，va=43.93; nb=1.61272, vb=58.63，得：112.21661 3.83795 2.65565 0.09346210.53381 2.77283 1.79054 0.46159XX 根据半径与形状因子的关系：122121 11nnRRXX可求出相应的四个半径：12341.70416 3.95102 5.22886 21.085511.44628 6.73544 11.54525 17.481072.01953 10.86047 24.35517 35.760451.66934 RRRR 5.10327 6.89966 13.17318可以看出，用初级像差理论求出的初始值与在ZEMAX优化出的结果相近。加入实际厚度，用前面建立的优化函数再优化一次：将Celor透镜的前半部与后半部合在一起：前半部和后半部合成后焦距和像差等有所改变，我们先将焦距校正到50，同时控制球差、像散、场曲和轴向色差，慧差暂时不控制。第一次优化后结果还不是很好，还会有高级像差。照相物镜通常用点图或MTF来评价像质，因此第二步优化就采用点图的优化函数来操作：变量设在第一个正透镜及两透镜的间隔，优化结果如下：5.4三片型（Cook）物镜设计1.三片型物镜是应用薄透镜校正所有像差的最简单结构。它有八个变量，即六个曲率半径和两个间隔，刚好校正七种初级像差，并满足总焦距的要求。2.三片型对称物镜，它的纵向像差（球差、场曲、像散、轴向色差）互相迭加，而横向像差（慧差、畸变、垂轴色差）互相抵消。因此设计时只需考虑校正半部系统的纵向像差。对于半部结构而言，变量只有四个，即三个曲率半径和一个间隔，因此，在半部系统中，要校正四种初级像差并要满足光焦度的要求，则需将玻璃作为一个变量来考虑。例：设计一个三片式物镜，相对孔径为1：4，焦距50mm，视场角40度。设计过程（一）：1. 根据Celor方程分配光焦度及透镜间隔（半部系统中焦距为100）：242abbaca 2 2 babPb baaanavvbn vvcvnababt abPbann在设计照相物镜时，正透镜应尽可能采用折射率高色散低的玻璃，因为正透镜的折射率高有利用校正场曲，而色散低有利于校正色差。负透镜应采用折射率较低而色散比较高的玻璃。根据这种原则选择如下玻璃：2: 1.647689 33.8482 33: 1.753977 52.430467SFNLAK由此可计算出：0.0352 0.0375 5.86abt 在半部系统中，第一个透镜为平凹镜，第二个透镜为正透镜，初始时设为平凸透镜，则各个面的曲率为：123411 18.4003 20.1061baabnnRRRR 将上述数据插入到ZEMAX中：焦距：99.65，Seidel像差系数如下：改为对称结构：将物距设为无限远，并将光阑移到第二个透镜的第二面，加入适当的玻璃厚度即得到三片式物镜的初始结构：入瞳直径12.5，视场最大20度下面对初始结构进行优化：优化函数采用默认点图的形式结果如下：设计过程（二）：1. 根据Celor方程分配光焦度及透镜间隔（半部系统中焦距为100）：242abbaca 2 2 babPb baaanavvbn vvcvnababt abPbann2. 半部设计的球差与像散：1 122222211221112221122 22IIIISy Py PyyyySPLWLPLWLyyyy在三片式半部设计中，在满足像差及焦距的前提下需要将玻璃作为变量，因此玻璃的选择比较重要。由于第一个透镜为平凹镜，其形状因子X-1，因此我们可以用试验的方法来选择玻璃，即先选一对玻璃，然后根据Celor方程计算两个透镜的光焦度及两个透镜的间隔，再根据球差及像散方程计算两个透镜的形状因子，如果第一个透镜的形状因子接近-1，则我们选的玻璃可用。在场曲，球差，像散均为0的条件下用的玻璃组合如下：选择SF4、N-LAK33A组合，此时正透镜的折射率较高，而且正负透镜的色散比值也比较大，有利于色差的校正，正负透镜的光焦度的绝对值也比较小将上述结果插入到ZEMAX中，并将前半部加入，得到如下初始结构：入瞳直径12.5，视场最大20度下面对初始结构进行优化：优化函数采用默认点图的形式结果如下：设计过程（三）：利用半部结构设计三片式物镜还可以按以下过程来进行：1. 根据下面二式计算y及W：2222221122111111133121VyV ynnnWyVy2322222221222222219111142211 212211nnV yVyVynnnnVyWnn式中12vVv当玻璃给定后，可解出y及W2. 求解两透镜的光焦度及总的场曲2121VyVy22211yVy211yt1212IVSnn3. 根据W算出与形状相关的因子Q2222211211nQWVynnn4. 根据Q算出第二个透镜的两个半径（此处为半部焦距为1的半径）42111RQ3222111RnQn第一个透镜为：1R 1211 nR仍以前面的例子为例：选择玻璃为SF4：1.755201、27.579501及N-LAK33A：1.75393、52.270764半部结构的焦距为100mm由前面公式可解得：0.3898 1.3772Wy52340.142 0.28408 8.57305 0.29354 5.95 10IVtRRRS 由于半部的焦距为100，因此将所求的参数乘以100便得到半部结构的初始解123414.2 28.408 857.305 29.354 tRRRR 优化过程与前面的一样。u 由半部结构合成系统的过程前面用半部法求得的初始结构，只在系统完全对称的情况下满足初级像差要求，即物与像对称。当将物距变为无限远时，就破坏了原来的物像对称，像差状况也就发生了变化。为了校正物体在无限远时的像差，结构也要相应地进行失对称变化。实际计算中可采用保持轴向光束在各个折射面上的偏向角不变的方法来完成系统的合成。下面以设计过程（二）中例子来说明具体的计算过程：设计过程（二）的半部计算结果：并取负透镜的厚度为2，正透镜的厚度为5，入瞳直径为12.51. 计算完全对称系统各面的近轴转角u：40u 53550.16615uuy 6558.6076yyu t62562621/0.09042uuuynCn 79.0597y 710.0741uu 46.25y 2. 当物移至无穷远时，计算新的孔径角，计算式如下：*1*227337*447557*6677700.1645 0.24030.0741 0.09210.01630 20.1482uuuuuuuuuuuuuuuuuu 3. 计算各面上新的高度，高度计算时要从光阑开始，然后分别往两边计算*1222*233*3414*4414*545*652610.55589.733226.324126.17597.48207.5636yyd uyytuyyduyyduyytuyyd u4. 计算各个曲面新的半径*1*11iiiiiiiinnyRnun u*211*122127.57931nyRun u*222*2231151.90698nyRn uu*133*314143.34327nyRunu *144*145120.99829nyRnuu*255*526188.93063nyRun u*266*267132.24899nyRn uu 由此就得到了物在无穷远时的物镜初始结构5.5匹兹堡物镜设计u 匹兹堡物镜近轴光学设计匹兹堡物镜可看作是由双分离的两个正光焦度元件组成，光线转角在两透镜上可看作相等，并且可以假设第二个透镜的边缘光线高度为第一个的1/2。在这种假设下，应用近轴光线追迹公式（第一个面）：111 1uuy 11 12uyu 在第二个面上：222212uuyu因此：222uy 由前面等式可得：1 122yy因此121212yfyf对于多组元结构，其总的光焦度为：1 12211yyy代入前面的等式：1 1112yy所以111 22ff当我们设第二个透镜组边缘光线的高度为第一个透镜组边缘光线高度的一半时，由111222 2yffffyf下面再看看两个分离透镜组之间的间隔：121 2t211122t22t用焦距来表示：22ffttf当两个透镜组的光焦度及透镜组的间隔确定以后，就可以根据选定的玻璃组合计算前后透镜组各个曲面的半径。第一组透镜为双胶合形式，可以根据消色差条件分配光焦度，然后根据消球差、消慧差条件确定各个透镜的曲率半径；第二组透镜为双分离形式，可以根据Celor方程分配光焦度及透镜间隔，然后按照Celor透镜半部设计的方法确定各个透镜的曲率半径，最后再进行优化。5.6像质评价u 衍射能量分布和质量判据1. 无像差时的点像衍射能量分布如果光学系统是无像差的，根据惠更斯-菲涅尔原理，焦点附近点的三维光场分布是： 2212120202Riuiuaia AU PeJvedR 其中：22222 aauxvyzRR2a, ,Q ROZXY, ,P x y za为出瞳半径，为参考球半径，为第一类零级贝塞尔函数，为点的坐标(x, y, z)a)几何焦平面上的强度分布当u=0时，由上式得几何焦平面上的归化强度分布为： 2120,JvIvv该式为圆孔夫朗和费衍射的爱里公式。下表是该函数的几个极大与极小v极值01极大1.220极小1.6350.0175极大 212Jvv由上表可见，第一个暗环的半径为0.61Rra当波长0时，r0，即爱里圆的半径趋向于零。此时物点成一个理想的像点，这就是用几何光学观点而不考虑衍射效应的结果b) 轴上点的强度分布当观察点在轴上时，v=0，此时强度为20sin4,04uI uIu通常认为，强度比像斑中心低大约20%是允许的，此时u=3.2，故离焦公式为：212Rxa c)区域能量在某接收面（u为常数），以轴上点为中心，以预定的r0为半径作一小圆，求落在此小圆内的能量百分比，称此为区域能量，即02001,rL u vI u v rdrdE 为射到圆孔面上的总能量在几何焦平面上（u=0），该式可简化为 22010,11LvJvJ 2. 有像差时的点像衍射能量分布如果光学系统存在像差，根据惠更斯-菲涅尔原理，点的光场分布是 2212,cos200Riui kWvai AaU Peed dR ,WQQ 为波像差；为光瞳平面极坐标， 是以高斯像点为中心的极坐标的幅角QQCPO波阵面高斯参考球若以无像差时的高斯像点处的强度来归化，则点的归化强度为 212,cos2001i kWvI Ped d 该式即为有像差时的点扩散函数a)初级球差的衍射效应取 242040W 则归化强度为 24204021004ikI PJved b) 初级慧差的衍射效应321,cosW 归化强度为 3221212coscos0.52001i kvuI Ped d u 点分辨能力判据1. 非相干情况下的点分辨能力a)瑞利判据对于间隔为b的两个物点，其光场强度分布为 220 I rIrbrbryz像方光场强度分布为 22101112 JvaaIrIkrbkrbvRRv 瑞利认为：函数的一个中心极大同另一个的第一级极小重合时，点像的中央合成强度分布将稍微下降而有一极小值，此时221.22 2RabaR为相对孔径b) 史派劳判据史派劳判据是根据合成像强度的二阶导数在两高斯像点之间的中点上为零的条件来判断的，即 200rIrr20.942Rba2. 相干情况下的点分辨能力对于相干情况，像强度分布为 2011 aaIrIkrbkrbRR此时，由史派劳判据可得：21.462Rbau 施特雷尔判据（中心点亮度判据）施特雷尔判据是一个比值，表示有像差时的衍射图形中最大亮度与无像差时的最大亮度之比，即212,2001.ikWS Ded d 1. 小像差近似a)S.D近似表达式当像差很小，使S.D大于或等于0.8时，前面的式子可近似用下式表示：2.1S Dk 22WW为方差，12001222001,1,WWd dWWd d 由此可见，小像差时，焦区内参考球中心处的归化强度与像差性质无关，它与1的差值正比于波阵面的均方变形b) 像差函数的泽尼克圆多项式展开利用单位圆内正交的圆多项式完备集可得： 000,0,2cosnmmnnn mnnm nWgRgRm 这时S.D可简化为：22,.1n mS Dkg 2. 最佳校正状况前面几个式子表明波像差的二次平均值可以用圆多项式的系数二次方和表示。显然，各项系数对归化强度的影响是相互独立的，而每一项多项式均为多种像差的组合，因此，当像差按圆多项式那样分配平稳衡就是最佳校正状况。下表是几种像差的最佳校正状况，其中波像函数取至三级。202020201420404040264206060603101010103121212115414110.52 31166 53311252020 71coscos221coscos33 46RRRRR 像差波像差的一般表示波像差的圆多项式表示轴向离焦初级球差二级球差垂轴离焦初级慧差二级慧差3141231coscos51010 6R波面处于最佳校正状况时的波面曲线：2W2W2W2W 21 0.242aW轴向离焦（a）（b）（c）（d） 421 0.956bW初级球差 642331 3.82520cW二级球差 8642921 14.627770dW三级球差最佳球面波面曲线WWWW（a）（b）（c）（d）最佳慧差波面的子午截面曲线 32 0.14 0.613aWbW垂轴离焦初级慧差 53753631264 2.4 9.85107735cWdW二级慧差三级慧差u 瑞利四分之一波长定则1. 瑞利定则瑞利认为一个系统的固有初级球差使出瞳处的波面偏离高斯参考球面不到四分之一波长时，高斯焦点处的强度减弱不到百分之二十。光的这种损失通常是容许的。其他研究者发现，有其他像差存在时，若波面形变小于四分之一波长时，像的质量同样不会受到严重影响。这个定则称之为瑞利四分之一波长定则：max4W2. Marechal判据Marechal认为当衍射焦点处的归化强度大于或等于0.8时，该系统认为已校正好。利用施特雷尔小像差近似公式可得：14W即波面偏离以衍射焦点为中心的参考球面的均方根偏差不得超过1/14波长u 波像差的定义和表示法波像差函数表示从一物点出发，经过光学系统以后到达出瞳面上的波阵面与一个以像点为中心的球面（参考球面）之间的光程差，可以表示为：123.WWWW22222222120400201213222222223260412203432222242222338042046123, , ,.WWW u 波像差与几何像差的关系对垂轴像差有 yxWWnu Tnu T对纵向像差有22222222 TSWWWnuLnu Xnu Xu几何像差的波差表示式222040 24nuL 轴向球差22002402204 2Tnu X 宽光束子午场曲24210341235Tnu K 子午慧差u 波差极小化和像差容限1. 初级球差若系统只存在初级球差，可以选择最佳离焦量使波差最大值极小化。此时最佳离焦位置应使边缘带上的最大波差为零，即：2040 而离焦位置应选在1/2的最大边缘球差处：12hxL 波差的极值位置由下式确定220W0.707此时最大残留波差值为4014W 由此可见，经过波差最大值的极小化处理后容限放宽了倍。即可以，故边缘球差的容限为4024hLnu 2. 二级球差系统存在二级球差时，是最大波差极小化的条件，亦即。这时最佳离焦量为0hL 40603 2 0.734hxL 即2060916此时残留的最大波差为20.76012416hnuLW残留的带球差容限为0.726hLnu3. 瑞利容限对于小像差系统，波像差与能量分布的关系如下表：%084161.01/ 41/1683170.991/ 21/880200.9511/ 468320.81系统波像差衍射斑内能量衍射环上能量中心亮度完善系统瑞利极限瑞利极限瑞利极限对应于1瑞利极限的几何像差容限为：0.722246 0 2hhhxLLLnununu 离焦边缘球差带球差 22SKOSCnunu y 弧矢慧差1, 22 ,2stlx xxnu 轴向色差细光束场曲u 光学传递函数对于光学系统的成像过程，往往是通过各种特殊的物分布来研究它们的像。对一个点状物，就是研究相干情况下的点振幅扩散函数和非相干情况下的点扩散函数。由于任何一个复杂的物分布都可以分解为各种空间频率的谱，于是光学特性就表现在它对物体结构的各种频谱的传递能力，包括对比的变化和位相的推移，这就是光学传递函数。1. 光学传递函数的表示a)非相干情况在非相干情况下，像面上的光强度分布是物面上的光强分布与点扩散函数的卷积。如果以FTI(r, s)、FTI(r, s)、FTP(r, s)分别表示它们各自的谱函数，则根据卷积的傅氏变换定理可得：,FTIr sFTP r s FTI r s该式表明，像的强度谱等于物的强度谱乘上一个因子FTP(r, s)。这个因子反映了光学系统在频率域内的传递特性。这个因子就是非相干光学传递函数，即点扩散函数的傅氏变换。r, s 指空间频率。b) 相干情况在相干情况下，像光场分布U是物光场分布U和点振幅扩散函数ASF的卷积。如果以FTU(r, s)、FTU(r, s)、FTA(r, s)分别表示它们各自的谱函数，则根据卷积的傅氏变换定理可得：,FTUr sFTU r s FTA r s如果采用归化空间频率，则有,FTA r sP 说明在相干情况下，光学传递函数FTA与光瞳函数等价。因此，相干光学传递函数有如下两个性质：第一、像差不影响相干传递函数的调制度。即如果像差不引起光瞳处的振幅分布而只引起相位分布变化的话，那么在瞳内其调制度恒为。第二、由于光瞳函数是带限函数，当时，光瞳函数为零，所以当归化空间频率时，相干传递函数也为零。221221rs2. 非相干光学传递函数的定义非相干传递函数是在线性、非相干和等晕三个条件下定义的。a) 线性指任意两个物方图样叠加后产生的像的强度分布可以由表征各单独像的强度分布的和来确定时，这个成像系统称为线性系统。b) 非相干照明指一种从物面上任意两点发出的反射或透射光可以进行强度相加的照明c) 等晕区一个成像系统的等晕区是指在测量精度范围内，点扩散函数可以认为是恒定的区域。d) 光学传递函数定义在上述三个条件下，光学传递函数OTF定义为相对应的点扩散函数PSF的傅里叶变换,exp2OTF r sPSF y ziyrzsdydz OTF是一个复函数。它的值在零空间频率时等于,(y,z)是在像面上与物点共轭的像点为中心的区域坐标。(r,s)是与空间坐标(y,z)相关联的变量，称为空间频率。u 几种特殊情况下的调制传递函数1. 无像差系统a) 截止频率02 sinnur式中，nsinu为光学系统数值孔径b) 圆孔对于均匀透光的圆形孔径，如果该系统为无像差系统，则其值为 2cos sin arccos2rMTF r式中r为归化空间频率，极值为c) 方孔对于方孔，比较简单，为,1122rsMTF r s对于狭缝 12rMTF r 2. 初级球差222222040W利用系统的旋转对称性质，设22rrs则波像差差分函数为2222040,24224rsrrrWWWrr 于是有 221121024cos 2rrsrMTF rdWd