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第2讲函数的图象与性质自主学习导引真题感悟1(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为Ayx1 Byx3 Cy Dyx|x|解析利用排除法求解A选项中的函数为非奇非偶函数B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.答案D2(2012山东)函数y的图象大致为解析利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解yf(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近0时，yf(x)趋近，排除选项B；当x趋近时，yf(x)趋近0，排除选项C.故选择选项D.答案D考题分析高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用，考查图象时一般以图象的应用与识别为主，题目立意多样、角度很灵活，高、中、低档题目皆有，题型有选择题，也有填空题，若为解答题，则与导数相结合网络构建高频考点突破考点一：函数及其表示【例1】(1)(2012衡水模拟)函数y 的定义域为A(0,8B(2,8C(2,8D8，)(2)(2012石家庄二模)已知函数f(x)则f(f(1)f的值是A7 B2 C5 D3审题导引(1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之；(2)根据自变量的范围代入解析式求解规范解答(1)2x8，函数的定义域为(2,8(2)f(1)log210，log30，f(f(1)ff(0)190117.答案(1)B(2)A【规律总结】1求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域a，b，其复合函数f(g(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2求f(g(x)类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性【变式训练】1已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)f(x)的定义域是_解析要使函数g(x)有意义，则需f(x)0，由函数f(x)的图象知2x8，即函数g(x)f(x)的定义域为(2,8答案(2,82已知函数f(x)2x，且g(x)则函数g(x)的最小值是_解析易知g(x)当x0，g(x)(2x2x)ln 20，g(x)ming(0)0，当x0时，g(x)(2x2x)ln 20，g(x)g(0)0.故函数g(x)的最小值为g(0)0.答案0考点二：函数的图象【例2】(1)(2012丰台二模)已知函数ysin axb(a0)的图象如图所示，则函数yloga(xb)的图象可能是(2)(2012武威模拟)函数y的图象大致是审题导引(1)利用已知函数的图象求出a，b的范围，再选择yloga(xb)的图象；(2)利用函数y的性质，结合排除法求解规范解答(1)由ysin axb的图象知其周期T2，0a1.又0b1，故选A.(2)x1是y的零点，且当x1时，y0，当0x1时，y0，故可排除A、B.当x0时，y，由于函数yx的增长速度要大于函数yln x的增长速度，故当x时，y0.故可排除D，选C.答案(1)A(2)C【规律总结】函数图象的识别方法(1)性质法：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系(2)图象变换法：根据函数解析式之间的关系，或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象【变式训练】3(2012兰州模拟)函数y，x(，0)(0，)的图象可能是下列图象中的解析因函数y是偶函数，故排除A，又x时，xsin x，即1，排除B，D，故选C.答案C4(2012湖北)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为解析由yf(x)的图象写出f(x)的解析式由yf(x)的图象知f(x).当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)，故yf(2x).图象应为B.答案B考点三：函数的性质及应用【例3】(1)(2012湘潭二模)已知函数f(x)x2cos x，则f(0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是Af(0)f(0.5)f(0.6) Bf(0.5)f(0.6)f(0)Cf(0)f(0.6)f(0.5) Df(0.5)f(0)f(0.6)(2)(2012聊城二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f(x)f(x4)，当x(2,0)时，f(x)2x，则f(2 012)f(2 011)的值为A B. C2 D2审题导引(1)利用函数f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小；(2)利用函数的周期性与奇偶性求解规范解答(1)f(x)2xsin x，当x0时，f(x)0，即f(x)x2cos x在(0，)上是增函数，又f(x)是偶函数，f(0.5)f(0.5)，f(0)f(0.5)f(0.6)(2)由题可知函数的周期为4，故f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)021.答案(1)A(2)A【规律总结】函数性质的综合应用求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路，即把自变量化归到已知区间中，然后根据函数的有关性质进行求解，如例3第(1)题中要比较f(0.5)，f(0)，f(0.6)的大小，就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到0，)内，然后根据函数的单调性比较它们的大小易错提示常见周期函数的几种形式函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合，常涉及函数周期的求解，常见形式主要有以下几种：(1)如果f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T|ab|；(2)如果f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|；(3)如果f(xa)f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；(4)如果f(xa)或者f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；(5)如果函数f(x)既有对称中心，又有对称轴，则该函数是一个周期函数，若其中的对称中心为(a，m)，与其相邻的对称轴为xb，则该函数的一个周期为T4|ab|.【变式训练】5(2012东莞二模)已知函数f(x)(xR)的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为_解析f(x)1，令g(x)，易知g(x)是R上的奇函数，设g(x)的最大值为a，则其最小值为a，M1a，m1a，Mm2.答案26(2012龙岩模拟)已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(2 012)A2 B0C2 D3解析f(x1)是奇函数，则函数yf(x1)的图象关于(0,0)对称，函数yf(x)的图象关于(1,0)对称，即f(2x)f(x)0.f(x1)是偶函数，即其图象关于直线x0对称，函数yf(x)的图象关于直线x1对称，即f(x)f(2x)由两式得f(2x)f(2x)，即f(x4)f(x)，可得f(x8)f(x)，所以函数yf(x)的周期T8.f(2 012)f(25184)f(4)，在式中，令x0得f(4)f(0)2，f(2 012)2.答案A名师押题高考【押题1】在同一个坐标系中画出函数yax，ysin ax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是解析当a1时，ysin ax的周期T2，可排除A，C.当0a1时，ysin ax的周期T2，可排除B，故选D.答案D押题依据高考对函数的图象的考查有识图、用图、作图三个方面，利用函数的性质与函数图象变换的方法考查对函数图象及性质的理解是高考的热点，本题考查利用函数解析式中参数范围对函数图象的影响，难度较小，故押此题【押题2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是A，)B，)C，3) D，)解析当x0时，f(x)x2且f(x)是定义在R上的奇函数，f(xt)2f(x)f(x)，且f(x)是定义在R上的单调递增函数，xtx，整理得，(1)xt，由于y(1)x在xt，t2时单调递增，所以(1)(t2)t，解得t.答案A 押题依据利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要的题型，是高考的热点本题利用函数的奇偶性推出函数的单调性并能恰当地加以应用，对函数的奇偶性考查较为容易，而着重考查了函数的单调性，符合高考的要求，故押此题 - 8 -
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