大学高数下册试题及答案第7章

大学高数下册试题及答案 第7章第七章多元函数微分学 作业1多元函数 1填空题 1函数，那么； 2的定义域是； 3的定义域是 ； 4函数的连续范围是全平面； 5函数在处连续.2求以下极限 1； 解：2.解：由于，故 3讨论极限是否存在.解：沿着曲线,有因此异，从而极限不存在4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续.解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因此异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数 1填空题 1设，那么； 23设，那么； 3设，那么0； 4曲线在点处的切线与轴正向的倾角是.2设，证明.证:因为 所以3.设，求，.解：， 从而4设， 证明.解：因为所以 5设函数.1试求的偏导函数； 解：当 ， 当 ， 2考察偏导函数在点处是否连续.，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3全微分及其应用 1填空题 1在点处偏导数存在是在该点可微的必要 条件； 2函数在点处，当时有全增量 ，全微分； 3设在点处的全增量为，全微分为，那么在点处的全增量与全微分的关系式是； 4在点处的； 5,那么； 6,那么； 7,那么.2证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微.证：由于从而但是 不存在，从而在处不可微.3设函数 试证：1函数在点处是可微的； 证：因为又 所以函数在点处是可微的2函数在点处不连续.证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4多元复合函数的求导法那么 1填空题 1设，那么 ； 2设，那么 ； 3设，那么； 4设，那么.2求以下函数的偏导数 1设其中具有一阶连续偏导数，求和； 解：2设，其中均可微，求和.解：因为 从而所以 3验证以下各式 1设，其中可微，那么； 证：因为 所以 2设，其中可微，那么.证：因为 所以4设其中函数具有二阶连续偏导数，求.解：因为 所以4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：.证：因为从而左边 作业5隐函数求导法 1填空题 1，那么； 2，那么； 3，那么； 4，那么； 5，其中具有一阶连续偏导数，那么 .2设其中具有二阶连续偏导数，求 解：3求由方程组所确定的及的导数及.解：由4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且.试证：.证：因为，5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求.解：因为特征方程为 作业6方向导数与梯度 1填空题 1在梯度向量的方向上，函数的变化率最大； 2函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模； 3函数在点的梯度为； 4函数在点处沿方向的方向导数是，且函数在该点的梯度是； 5函数在点处沿方向的方向导数是； 6函数在点处沿指向点方向的方向导数是.2求在点及点处的梯度间的夹角.解：夹角余弦为 3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？ 解：， 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快； 沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数.解：， 由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：作业7偏导数的几何应用 1填空题 1曲面上点的切平面平行于平面，那么点 的坐标是； 2曲面在点处的切平面方程是； 3由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法向量为； 4曲面在点处的法线方程是 ； 5曲线上点的切线平行于平面，那么点的坐标是或 2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程.解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程.解：，切线为，法平面为 4求曲面在点处的切平面及法线的方程.解：切平面为，法线为 5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数.解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为6证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数.证：设切点为， 那么 切平面为 令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。作业8多元函数的极值 1填空题 1函数的极值是0； 2函数的极值点是； 3函数的极值点是； 4函数的极值是； 5函数的极值是.2证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3求函数在条件下的极值.解：令 那么 从而 4求函数在圆域上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 那么 假设那么必有矛盾， 假设那么必有或 由于 从而要求的最大值为4，最小值为 5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体.解：设在第一卦限内的顶点坐标为，那么 令，那么由 ， 可得，其长宽均为，高为 6求椭圆的长半轴和短半轴.解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为.第七章多元函数微分学测试试卷 1单项选择题每题3分 1 二重极限值为 D A0； B1；C； D不存在.2二元函数在点处的两个偏导数和都存在，那么D(A)在该点可微；(B) 在该点连续可微； (C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对.3函数在处A (A) 不取极值； (B) 取极小值；(C) 取极大值；(D)是否取极值依赖于.4在曲线的所有切线中，与平面平行的切线B A只有1条； B只有2条； C至少有3条； D不存在.5设，其中，下面运算中B ， (A)、都不正确；(B) 正确，不正确；(C) 不正确，正确； (D) 、都正确.2填空题每题3分 1理想气体状态方程，那么； 2设，那么； 3函数在点的梯度为； 4，其中为可微函数，那么； 5曲面上的点处的法线平行于直线，那么该法线的方程为 3设，其中均为二阶可微函数，求.解：因为 所以4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数.解：从而 5，其中均为可微函数，求.解：对函数取全微分得， 从而6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数.解：指向下侧在此即抛物面的外侧，从而 7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标.解：设切点为，那么切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令 那么 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8设 1求，； 2，是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由.解：1当 ，当在此为分段点，用定义求偏导数2，在原点因为二重极限不存在从而不连续，但9为常数，且，求证：.解：令，那么问题化为在约束条件下的最大值为1 令，那么 ， 结合约束条件 由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为 从而 第 7 页 共 7 页