2019-2020年高考数学回归课本 初等函数的性质教案 旧人教版

2019-2020年高考数学回归课本初等函数的性质教案旧人教版一、基础知识1. 指数函数及其性质：形如y=ax(a0,al)的函数叫做指数函数，其定义域为R,值域为(0,+b),当0a1时，y二a为增函数，它的图象恒过定点(0,1) 。丄.血I1m12分数指数幂：an=na?an=nam,a-n=9an=annam3. 对数函数及其性质：形如y=logx(a0,al)的函数叫做对数函数，其定义域为(0,+a)，值域为R,图象过定点(1,0)。当0a1,y=logx为减函数，当a1时，y=logxaa为增函数。4. 对数的性质(M0,N0)；1) ax=Mx=logM(a0,a1)；a2) log(MN)二logM+logN；aaa3) log()=logM-logN；4)logMn=nlogM；，aaaaa5)log=logM；6)alogaM=M;7)logb=(a,b,c0,a,c1).aaa5. 函数y=x+(a0)的单调递增区间是和，单调递减区间为和。(请读者自己用定义证明)6. 连续函数的性质：若ab,f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(xe(-1,1),则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0(因为-1a1).因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2(柯西不等式)若a,a,a是不全为0的实数，b,b,beR,则()()三12n12n()2，等号当且仅当存在R,使a二，i=1,2,，n时成立。i【证明】令f(x)=()x2-2()x+=,因为0,且对任意xeR,f(x)20,所以=4()-4()()W0.展开得()()三()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a=,i=1,2,，n。i例3设x,yeR+,x+y=c,c为常数且ce(0,2,求u=的最小值。【解】u=xy+三xy+2=xy+2.令xy=t，则0t=xy，设f(t)=t+,00,所以y=2,x=4.所以方程组的解为.例9已知a0,a1,试求使方程log(x-ak)=log2(x2-a2)有解的k的取值范围。aa(x一ak)2=x2一a2【解】由对数性质知，原方程的解x应满足0x2一a20若、同时成立，则必成立，故只需解.由可得2kx=a(1+k2)，当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0,则k20且a1,比较大小：|log(1-b)|log(1+b).aa7. 已知f(x)=2+log3x,xG1,3,则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为。1118若x=logi3iogi3则与x最接近的整数是259函数的单调递增区间是10.函数f(x)=的值域为。11.设f(x)=lg1+2x+3x+.+(n-1)x+nxa,其中n为给定正整数，n三2,aWR.若f(x)在xw(-8,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1.函数f(x)=+lg(X2-1)的定义域是.2. 已知不等式X2-logx0在xW时恒成立，则m的取值范围是m3. 若xWx|log2x=2-x，则X2,x,1从大到小排列是.4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=.5.R678.命题p:函数y=log2在2，+8)上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为则p是q的条件.若0b0且a1,比较大小：|log(1-b)|log(1+b)|.aa已知f(x)=2+log3x,xW1,3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为131若x=i+i，则与x最接近的整数是.logi3logi3259.函数y=的单调递增区间是,10.函数f(x)=的值域为.11.设f(x)=lg1+2x+3x+(n-1)x+nxa，其中n为给定正整数，n三2,aWR。若f(x)在xW(-8,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1.函数f(x)=+lg(X2-1)的定义域是.2. 已知不等式X2-logx0在xW时恒成立，则m的取值范围是m3. 若xWx|logx=2-x，则X2,x,1从大到小排列是.4若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范围是.5. 已知a=log(n+1)，设，其中p,q为整数，且(p,q)=1，则pq的值为.nn6. 已知x10,y10,xy=1000，贝y(lgx)(lgy)的取值范围是.7. 若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是.8. 函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是.(1)b0；(2)b0且c0；(3)b0且a1,f(x)=log(x+)(x1),(1)求f(x)的反函数f-i(x)；(2)若f-i(n)(nWN),a+求a的取值范围。五、联赛一试水平训练题1. 如果loglog(logx)=loglog(logx)=loglog(logz)=0,那么将X,y,z从小2233552. 设对任意实数xxxx0，都有log1993+log1993+log1993klog1993恒成立,0123则k的最大值为.3.实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=X2+y2，则的值为.4. 已知Obl,0oa0的解集为.9. 已知a1,b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).lg(6-x)+lg(x-2)+log丄(x-2)10. (1)试画出由方程10=所确定的函数y=f(x)图象。lg2y2(2)若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。11. 对于任意neN(n1),试证明：+=logn+logn+logn。+23n六、联赛二试水平训练题3x2-x3y2-y3z2-z1. 设x,y,zeR+且x+y+z=1，求u=+的最小值。1+x21+y21+z22. 当a为何值时，不等式loglog(X2+ax+6)+log320有且只有一个解(a1且a1)。5a3. f(x)是定义在(1,+8)上且在(1,+8)中取值的函数，满足条件；对于任何x,y1及u,v0,f(xuyv)m2f(n)=,f(f(n+m一13)n1,f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8. 设p,q是任意自然数，求证：存在这样的f(x)eZ(x)(表示整系数多项式集合)，使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有9. 设a,B为实数，求所有f：R+fR,使得对任意的x,yeR+,f(x)f(y)=y2f成立。2019-2020年高考数学回归课本圆锥曲线(一)教案旧人教版一、基础知识1. 椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即|PF|+|PF|=2a(2a|FF|=2c).1212第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上)，即(0e1).第三定义：在直角坐标平面内给定两圆q:x2+y2=a2,c2：x2+y2=b2,a,beR+且aMb。从原点出发的射线交圆S于P,交圆c2于Q,过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。2椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为(ab0)，参数方程为(为参数)。若焦点在y轴上，列标准方程为(ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(土a,0),(0,土b),(土c,0)；与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0el.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。4. 椭圆的焦半径公式：对于椭圆l(ab0),F/-C,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，贝9|PFj=a+ex,|PF2l=a-ex.5. 几个常用结论：1)过椭圆上一点p(x0,y)的切线方程为2) 斜率为k的切线方程为；3) 过焦点F2(c,0)倾斜角为e的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点P的轨迹；第二定义;到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7. 双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为(为参数)。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为。8. 双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a,b0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，贝称为等轴双曲线。9. 双曲线的常用结论，1)焦半径公式，对于双曲线，F1(-c,0),F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，贝|PF=ex+a,2|PF=ex-a；若P(x,y)在左支上，则|PFj二-ex-a,|PF=-ex+a.2)过焦点的倾斜角为8的弦长是。10. 抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.11. 抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，1) 焦半径|PF|=；2) 过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3)过焦点倾斜角为e的弦长为。12. 极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为0,从0出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点p,记|op|=p,zxOP=e，则由(p,e)唯一确定点p的位置，(p，e)称为极坐标。13. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0e1,则点P的轨迹为椭圆；若e1,则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1,则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1. 与定义有关的问题。例1已知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。解见图11-1，由题设a=5,b=4,c=3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)23|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x0,所以点P坐标为例2已知P,为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K,P.延长线交双曲线于Q,(.为右焦点)。求证：ZFK=ZKFQ.证明记右准线为l,，作PDl于D,于E,因为/PD,贝9，又由定义，所以|PF|PD|PK|-，由三角形外角平分线定理知，FK为ZPFP的外角平分线，|PF|PE|PK|111所以Z=ZKFxQo2. 求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。解法一利用定义，以椭圆的中心为原点O,焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系,设椭圆方程：=1(ab0).F坐标为(-c,0).设另一焦点为。连结，OP，贝V。所以|FP|+|P0|=(|FA|+|A|)=a.所以点P的轨迹是以F,0为两焦点的椭圆(因为a|FO|=c),将此椭圆按向量m=(,0)平移，x2y2得到中心在原点的椭圆：+二1。由平移公式知，所求椭圆的方程为a2b2T4解法二相关点法。设点p(x,y),A(X,y1),贝V，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭/c4x+_V2丿4y2圆上，所以代入得关于点P的方程为+=1。它表示中心为，焦点分别为a2b2F和0的椭圆。例4长为a,b的线段AB,CD分别在x轴，y轴上滑动，且A,B,C,D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。解设P(x,y)为轨迹上任意一点，A,B,C,D的坐标分别为A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),记0为原点，由圆幕定理知|0A卜|OB|=|OC|0D|，用坐标表示为，即当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当ab时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a0)的右焦点F作BB轴，交双曲线于B，B两点，B与左焦点F121221连线交双曲线于B点，连结Bp交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。证明设点B，H，F的坐标分别为(aseca,btana),(x,0),(c,0)，贝V片，BB?的坐标分别为(-c,0),(c,),(c,)，因为片，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以abab+acsinac,x.2asinabcosa0asina+bcosaa2b(b+csina)所以cx02a2sin2a+absinacosab2cos2aa2b(b+csina)a2sin2a+absinacosab2+c2sin2aa2b(b+csina)asina(asina+bcosa)+(csina一b)(csina+b).a(b+csina)由得asina+bcosa,x0代入上式得cx0a2ba2sinaz.八(csina-b)x0即(定值)。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在准线上，且BC/x轴。证明：直线AC经过定点。证明设，贝V,焦点为，所以”，。由于，所以y2-yi=0，即=0o因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。21例8椭圆上有两点A，B,满足OAOB,O为原点，求证：为定值。证明设|0A|=r,|0B|=r2，且ZxOA=0，厶0B二,则点A,B的坐标分别为A(ricos0,sin0),B(-r2sin0,r2cos0)。由A,B在椭圆上有r2cos29r2sin29一r2sin29r2cos291+亠=1,-+-)a2b2a2b2即+得1IOAI2IOBI211-+(定值)。a2b24最值问题。例9设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB(O为原点)，求|AB|的最大值与最小值。解由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设11111m=|AB|2=r2+r2=(r2+r2)(+)=(2+12+),12412r2r24t2121cos29sin291a2-b2因为一=+=+sin29，且a2b2，所以，所以bWrWa,同理r2a2b2a2a2b211bWr2Wa.所以。又函数f(x)=x+-在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。解设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1,因为|AB|W|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A,B,C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t,椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcos0,tsin0)，贝|BC|2=(2tcos0)2+=3t2sin20-3tsin0+4t2=-3(tsin0+)2+3+4t2.若，则当sin0=-1时，|BC|2取最大值t2+31+,与题设不符。若t,则当sin0二时,|BC|2取最大值3+412，由3+412=7得t=1.所以椭圆方程为。5直线与二次曲线。例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。解抛物线y=ax2-1的顶点为（0,-1），对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P（xi，yi）,（-y-X），满足yi=a且-乂严）2-1,相减得xJyaO,因为P不在直线x+y=0上，所以xJyO,所以1=a（xi-yi），即xi=yi+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。例12若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。解二方程联立得17x2+16bx+4（b2-l）=0.由A0,得b；设两交点为P（xi，yi）,Q（x2，y2），4：17-b2由韦达定理得PQl*求证:C,C总有两个不同的交点。12+k21xxx。所以当b=0时，|pq|最大。1217三、基础训练题1. A为半径是R的定圆00上一定点，B为00上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是.2. 一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（0），则动点的轨迹是.3椭圆上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是.4. 双曲线方程，则k的取值范围是.5. 椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足ZF1PF2=600，贝仏FF2的面积是.6. 直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为.7. ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且4ABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为.8. 已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为.9. 已知曲线y2=ax，与其关于点（1,1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=.10. P为等轴双曲线x2-y2二a2上一点，的取值范围是.11已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点，求ZF1PF2和APF1F2的面积。12. 已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T,设|AT|=2a（2a）；（iii）半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足求证：|AM|+|AN|=|AB|。13. 给定双曲线过点A（2,1）的直线l与所给的双曲线交于点P和P，求线段PP的中1212点的轨迹方程。四、高考水平测试题1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是=0,则此双曲线的标准方程是2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点，若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1，则zA1FB1=.3. 双曲线的一个焦点为.，顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为.4. 椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F的距离为.5. 4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的条件.6. 若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是7. 如果直线y=kx+l与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是.8过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有条.9. 过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为.10. 以椭圆x1问：是否存在过C2的焦点.的弦人,使4AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与S的最值，若不存在，说明理由。AOB+a2y2二a2(al)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作个.11. 求椭圆上任一点的两条焦半径夹角8的正弦的最大值。12. 设F,O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB,点0都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13. 已知双曲线C:(a0),抛物线C的顶点在原点0,C的焦点是C的左焦点F。12211