一阶优化理论

优化理论设计优化介绍：优化模块（/opt）是ANSYS程序中的一个完整的最优设计模块。最优设计是在某种意义下 的最佳设计。在一些例子中，最优设计可以使结构得到最小重量，最大频率，在热传递中， 得到最小温度，在磁场发动机中，得到最大峰值转矩。在其他一些情况下，简单函数的最小 值不是唯一目标。还需要满足一些设计中预定义的约束。（例如：压力，几何，位移，热流 等）在最优设计中，ANSYS优化通常需要定义三种变量来表征优化过程：设计变量；状态 变量；目标函数；这些变量在 ANSYS 参数化设计语言中用标量表示。在优化步骤中， APDL 是必不可少的一步。在优化分析中独立的变量是设计变量。设计变量的矢量形式为：X = L x x 1 2 n( 1 )设计有 N 个约束包含上限和下限：x x x(i = 1,2,3,n)ii( 2)-in:：设计变量的个数最小值f 二 f (x)( 3 )约束条件：g ( x) g-ii(i = 1,2,，mi)( 4)h h (x)(i = 1,2,，m )( 5 )ii2w w (x) w-iii(i 二 1,2,m )3(6)f ：目标函数g ，h ，w ：状态变量包含设计，分别有下限和上限。i i im +m + m :状态变量个数有上限和下限值123状态变量作为依靠变量，随着设计变量矢量x变化1.1 可行与不可行设计设置设计形状满足所有的约束称为可行设计。设计形状违反一个或更多的约束称为不可行设计。在可行设计范围内，公差加到每一个状态变量极限中。所以：如果x*是一个给定的设计值x* 二（x*x*x* x*）（7）1 2 3 n设计认为可行只有当：g* = g (x*) g +ai i i(i = 1,2,3,m )1(i = 1,2,3,m )2w -y w* = w (x*) w +丫i i iii ia , p，丫是公差。并且： iii(i 二小,m3)(9)10)x x * x ii -i(i二1,2,3,n)(没有公差加到设计变量中)(11)20.3 一阶优化方法这种优化方法计算使用派生信息。(命令流OPTYPE,FIRST)。约束问题转变成无约束通过 加权函数。派生出目标函数和状态变量加权函数。在设计区间内产生一个搜索方向。各种最 速下降和变化方向在每一个循环中运行直到达到容许公差。每个循环由子循环组成包括搜索 方向和梯度计算。一阶最优设计需要结构分析循环。和子问题模糊方法不同，这种方法拥有 更高的计算精度和准确性。无约束目标函数一个无约束问题可概括为如下形式：Q(x,q) = f +P (x ) + q瓦P (g ) + 瓦P (h ) + 瓦P (w )(48)fx ig ih iw iJ 0 i=1 i=1i=1i=1丿Q ：无维数，无约束目标函数P，P，P，P 约束设计和状态变量加罚 xghwf 参考函数值，从现行设计设置中得到。0约束满足通过表面参数q响应来控制。外罚函数(P )应用到设计变量。状态变量用延长的内罚函数(P ,P ,P )表示。例如：状态xg h w变量约束用一个上限罚函数Pg(gi)=f g严iI gi+a 丿49)九大整数使函数足够大当违反约束时，当它不约束时，足够小。 函数应用剩余的罚函数具有相似的形式。当搜索方向确定时，一定的计算条件可以获得，当函数Q写成两个函数的和。定义:Qf050)Q (x, q)二工 P (x ) + q| 瓦 P (g ) + 另 P (h ) + 区 P (w )px ig ih iw ii=1 i=1i=1i=1方程可写成：52)Q(x,q) = Q (x) + Q (x,q)fp函数Q ,Q分别表示目标函数和罚约束。fp搜索方向 每一次最优循环，给出一个搜索方向矢量 d(j) ，下一点可以得到通过公式：x(j+1) = x(j) + s d(j)(53)j搜索从X(j),线性搜索参数：s，与最小值Q在方向d(j)相一致。求解s需要用到黄金算 jj法和二次方程技术。s的范围为0s 0)变化方向根据Polak-Ribiere递推公式：d(j) = -VQ(x(j),q ) + r d(j-1)kj -1Vq(x(j), q) 一 VQ(x(j-1), q)-T VQ(x(j), q)r =j-1|VQ( x (j-1), q)|2当所有的设计变量约束满足P (x ) = 0。q可以作为一个因子提出Q，可以写成：x ipQ (x(j),q) = qQ (x(j)if x x x-(i = 1,2,3, n)合适的正确完成，q可以变化从一个到另一个而不破坏公式57的变化。调整q可以从内部 控制状态变量约束。将约束加进限制值中作为必须容许目标。这种调整变得比较明显，当公 式 57 分离成两个方向矢量：d（ j）= d（ j）+ d（ j）fp每个方向都有一个独立的递推关系。d（j）=-VQ （x（j） + r d（ j-i）ffj -1 fd（j）= -qVQ （x（j） + r d（j-i）ppj -1 p算法恰好在r =0设置时重启，施加最速下降。当坏条件被查到时，应用重启设置。达到 j-1容许极限。保存满足约束的状态变量。 认为梯度矢量是可取的。梯度矢量计算按照一个近似值：dQ（ x（ j） Q（ x（ j）+ Ax e） - Q（ x（ j）ui-QxAxiie：矢量在第一元件中是1；其他是0。Ax = D （x - x ）i 100 i iAD ：不同的载荷步尺寸收敛精度 一阶循环直到达到收敛精度和中止发生。这两个指标被检查在每一个优化循环的最后。收敛定义为；比较当前步（j）和前一步（j -1）和最佳（b）设置：f （j） 一 f （j-1） Tf （j） 一 f （b） TT :目标函数公差。 同时必须的在最后循环中需要最速下降，否则，额外的循环表示。换句话说，最速下降被施 加和容许极限被检查。中止发生在：n = Ni1n ：循环次数iN 1 ：允许循环次数