函数的基础概念第五讲 新课标 人教版

函数的基础概念第五讲函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。考试内容：映射。函数。函数的单调性、奇偶性。反函数。互为反函数的函数图像间的关系。指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。对数。对数的运算性质。对数函数。函数的应用。考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石。求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2020年第2题），也有综合考查（如江苏2020年第22题）。函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2020年，北京2020年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势。特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.近三年高考解答题考查函数情况：2020年，在15套试卷中，涉及函数最值的试题有8题，参数的取值范围的试题有6道，不等式证明的试题有3道，函数与不等式应用性问题3道，可以应用导数知识解答的至少有12道。2020年，函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考题型。当中全国、北京、天津各命制了2道。函数与不等式试题处在压轴位置的有7道，与导数知识交汇的试题有12道。当中，求函数的最值和值域的试题有9道，涉及函数单调性的有7道，求参数取值范围的有5道。2020年高考试题里，出现函数种类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等。由此可知，函数与不等式解答试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到导数的相关知识。其命题热点是伴随导数知识的考查，出现频率较高的题型是最值、范围问题，命题 的趋向是函数迭代中的递推数列问题。函数的易错点：1、求解函数值域或单调区间易忽略定义域优先的原则。求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。判断函数奇偶性时，易忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。2、不能正确理解形如的函数与原函数的关系。忽视原函数与反函数的单调性与奇偶性的关系，从而导致解题过程繁琐。3、证明或判断函数的单调性质要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。在涉及对数型函数的有关问题时，易忽略限制条件且。复习本章要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化。2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等。3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题。4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏。5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视。函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，因而历来是高考的重点，其中直接考查函数的知识的试题在20%左右。知识梳理1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作，xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。【试题举例】例1、设，函数的定义域为M，值域为N，则的图象可以是【考点分析】本题考查函数的图象表示方法、函数的概念，基础题。解析：A项定义域为2，0，D项值域不是0，2，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B。答案：B例2、（2000全国理，1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【考点分析】本题考查映射的定义，基础题。解析：，分别将选择支代入检验，知当n4时成立。反思：本题如采用直接法，解方程相当困难，在检验时由于为偶数，故只需检验A、C，这也检验的技巧。例3、（2020年高考江苏卷）设函数，区间M=a，b(ab)，集合，则使M=N成立的实数对(a，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个【考点分析】本题考查函数的概念及分析问题解决问题的能力 .解析：当时，；当时，；当时，（也可由奇函数性质直接得出）所以，故选择B。例4（2020年全国，理11）设函数则使得的自变量x的取值范围为A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10【考点分析】本题考查分段函数的意义，是分段函数，故应分段求解。解析：问题转化为或由得或；由得。综上所述，或。答案：A分段函数是高考考查函数的一种重要方式，分段函数的概念。分段函数中高中数学比较重要的函数，在高考中几乎各省市的试题都会涉及到，它不但考查了分类讨论的思想，而且通过一题考查多个知识点，应加以掌握。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例5（设函数，则使得的自变量的取值范围是_（答：）；（2）已知，则不等式的解集是_（答：）例6（06辽宁卷）设则_【解析】.【点评】本题考察了分段函数的表达式、指数与对数的运算。例7（06山东卷）设(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解：f（f（2）f（1）2，选C