2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第二十七讲 动态几何问题透视

2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第二十七讲动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系3以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC的位置，设BC=1,AC=,则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtAABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120和90，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和.【例2】如图，在00中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA丄AB,BB丄AB，且AA=AP,BB=BP,连结AB，当点P从点A移到点B时，AB的中点的位置（）A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在AmB上移动D.保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，ZA0C=60。，动点P从0出发，以每秒1厘米的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从0出发，在0A上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：(1) 当=3时，的值是多少?(2) 就下列各种情形：0WW2:2WW4；4WW6；6WW8.求与之间的函数关系式.(3) 在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm/秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒).(1) 当为何值时，线段EF与BC平行？(2) 设10时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.6. 已知：如图，0O韵直径为10,弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA,过点C作CD丄AB于D.设CB的长为，CD的长为.(1) 求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；(2) 在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与0O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；(3) 在点B运动的过程中，如果过B作BE丄AC于E,那么以BE为直径的圆与0O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长.7. 如图，已知A为ZPOQ的边OQ上一点，以A为顶点的ZMAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且ZMAN=ZPOQ=(为锐角).当ZMAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(ZMAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动.设OM=，ON=(三0),AAOM的面积为S,若cos、OA是方程的两个根.当ZMAN旋转30(即ZOAM=30)时，求点N移动的距离；(2) 求证：AN2=ONMN；(3) 求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；(4) 试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围.8. 已知：如图，梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=3cm,ZC=60,BD丄CD.求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.9. 已知：如图，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动.设AE=，四边形EFGH的面积为S.当n=l、2时，如图、，观察运动情况，写出四边形3FGH各顶点运动到何位置,使?(2) 当n=3时，如图，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；(3) 当n=k(k三1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.10. 如图1,在直角坐标系中，点E从0点出发，以1个单位/秒的速度沿轴正方向运动，点F从0点出发，以2个单位/秒的速度沿轴正方向运动，B(4,2)，以BE为直径作001.(1) 若点E、F同时出发，设线段EF与线段0B交于点G，试判断点G与00勺位置关系，并证明你的结论；(2) 在(1)的条件下，连结FB,几秒时FB与001相切？(3) 如图2,若E点提前2秒出发，点F再出发,，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA丄轴于A点，连结AF交001于点P,试问PAFA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围参考答案AE_2-tCF42t勿动态几何问廳透視【例题求解】例2选D例3(1)当x=3时,y=3X3-l=8；(2)当时,y=3OP，即$=3小当2Cx4时,5=3OP-CX?=3j(j-2)=2x+2?当时，y=2(OA+AP)OQ+PB=Zz52+(8)=10；当6x8时，AQ=2(z-2)4=2工一12,y=3(AB一AQ)PB=34-(2h-12)-(8-z)=-5h+4O；(3)略.例4设E.F出发后运动了r秒时,EF/BC,如图(G,则BE=t.CF=42由t=42t,得/=即当秒时，43EF/RC.(2设E、F出发后运动了秒时,EF与半相切,Vl2f/.E、F分别在BA、CD上，如图(b),过点F作FG丄于G,则FG=BC=2,BE=t.CF=4-2r,EG=t-(4-2f)=3f-4,EF=BE+CF=4-r,又EF2=EG2+FGl,即(4一=(3/4严+22,解得=沢尹,故当=苇吃秒时，EF与半圆相切.设E、F出发后运动了r秒时，因19时，00在移动中与AABC的边不相切，即切点个数为0.(3)如图，$0时20在移动中，在ABC内部未经过的部分为正三角形ABC的内部，Sgc=y-BC-A,E=3V3(3-r)2./.所求解析式为S=3歯(3(0Vr=XS=6.4)当CBH8时，两圆相交,0y8,且yH6.4.(3)以BE为直径的圆与O可以内切BE=2或BE=&ANCN7. (1)点N移动的距离为2,(2)由厶OANsAMN,得ANJ=ON*MN.3)y=-i_(0x(4)0CS=(2?-6/+27)(Ot3)!9. 当n=l或2时,S=寺5町心当n=3Bt,S=6(x-y)2+ya2(0x0,二次函数图象的抛物线开口向上，规律t在对称轴x=y左侧，S随工增大而减小；在对称轴工=号右侧，5随乂增大而增大.1猜想t四边形EFGH各顶点仍燃运动到矩形ABCD各对应边中点，使S=ySefl(of当n-=k时，上述规律和猜想是成立的.同理可求得8=2用一2肋卄好=2心一号卩+号込510. (1)点G在0O1上1(2当1=-秒时，必有BF与0】相切；(3)APAF的值不会发生变化，连结PB,在y轴上截取FM=OA=4.设OE=r(2z4)则OF=2(t-2),AE4-t,则OM=42(L2)=82t,故舗=芒直=+，又器=+ARt/AOMRtABAE,：.BEA=FMA，又BEABPA,：./BPA=ZFMA4Par7FM#AB,AZBAP=ZAFM.AAFMAAAPB,AAPAF=ABFM=2X4=8为一定值.