2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第二十二讲 园幂定理

2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切00于点T,PA交00于A、B两点，且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6，则PB=.思路点拨综合运用圆幕定理、勾股定理求PB长.注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1) 平行线分线段对应成比例；(2) 相似三角形对应边成比例；(3) 直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4) 圆中的比例线段通过圆幕定理明快地反映出来【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切，若AB=4,BE=5，则DE的长为()A3B4CD思路点拨连AC,CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件.注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键【例3】如图，AABC内接于OO,AB是Z0的直径，PA是过A点的直线，ZPAC=ZB.(1) 求证：PA是O0的切线；(2) 如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5,AE：BE=2：3,求AB的长和ZECB的正切值.思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程.【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EFEP,要证明EG=DE，只需证明DE2=EFEP,这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁.需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中.【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF=4.求：(1)cosZF的值；(2)BE的长.思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE,AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出EF,FO值；对于(2),从ABEFAEAF,RtAEB入手.DC注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1) 多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理.(2) 多元素分析图形图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形(3) 将以上分析组合，寻找联系学力训练1. 如图，PT是00的切线，T为切点，PB是00的割线，交00于A、B两点，交弦CD于点M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4，则PT的长为.2. 如图，PAB、PCD为00的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=.3. 如图，AB是00的直径，C是AB延长线上的一点，CD是00的切线，D为切点，过点B作00的切线交CD于点F,若AB=CD=2，则CE=.4. 如图，在ABC中，ZC=90,AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为()A64B32C36D8(第4题)(第5题)(第6题)5. 如图，00的弦AB平分半径0C,交0C于P点，已知PA、PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为()ABCD6. 如图，00的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是ACT上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F,给出下列四个结论:TCH2=AHBH；AD=AC:AD2=DFDP；ZEPC=ZAPD,其中正确的个数是()A1B2C3D47. 如图，BC是半圆的直径，0为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A,AD丄BC于点D(1) 若ZB=30。，问AB与AP是否相等?请说明理由；(2) 求证：PDPO=PCPB；若BD：DC=4：l,且BC=10，求PC的长.8. 如图，已知PA切00于点A,割线PBC交00于点B、C，PD丄AB于点D，PD、A0的延长线相交于点E,连CE并延长交00于点F,连AF.(1) 求证：PBDspeC；(2) 若AB=12,tanZEAF=，求00的半径的长.9. 如图，已知AB是00的直径，PB切00于点B,PA交00于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交00于F、G,且BE、BD恰哈好是关于x的方程(其中为实数)的两根.(1)求证：BE=BD；(2)若GEEF=，求ZA的度数.(第7题)(第8题)(第9题)10.如图，ABC中，点E,与AC相切于点D,ZC=90,0为AB上一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB相交于11.如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD,AC与BD交于E,段BE、ED为正整数，则BD=.若AC=8,CD=4，且线(第11题)12.如图，P是半圆0的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A,AH丄BC于H,若PA=1,PB+PC=(2)，则PH=()ABCD13.如图，ABC是00的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D,且EFAB，若AB=2，则DE的长为()A.B.C.D.114.如图，已知AB为00的直径，C为00上一点，延长BC至D,使CD=BC,CE丄AD于E,E交00于F,AF交CE于P,求证：PE=PC.(第14题)(第15题)PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2,CD=1，15.已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的00相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、0O于E、H、F三点，连结0F.(1)求证：AAEPsACEA；(2)判断线段AB与0F的位置关系，并证明你的结论;(3) 求BH:HC16.如图，PA、PB是00的两条切线,求DE的长.17如图，00的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根，P是00外一点,过点P作00的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与00的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC的值.圜U9幕定理【例题求解】例115由CDDT=ABDB,得DT=9,由PTl=PBPAPD-DT1.即PB(PB+BA)=(.PB+BD)2DT2，得PB=15.AC=BE=5,又ZBAC=ZACD=ZABC,则AC=EC=AD=5,DC=AB=4,故DEDC2AD16例3(1)十ZC4B=90,故PA是OO的切线;(2) 设CE=6虹ED=5AE=2z,EB=3rd0,r0),由CEDE=AEEE,得30k2=6x2,/工=k,AE=2応b、BE=3砾，又FA2=DFCF=EF?AE2,即DF(DF+1叹)=(DF+5妁？一(2岛上严，解得DF=5H.DF=DE,即D为EF的中点，连结AD,则AD=DF=DE,AF=AC,由FA?=DFCF得&=50(5&+以+6),解得代=AB=AE十BE=5宓=10,tgECB=tgZAEF=j=2.DE_AEAEEFEC3ECEPDEEPDE9EFDE，即DE2=EFEP例5由厶OEFsDAF,得霁=箸=焉=寺，即AF2EF,又EF2=FBFA-BF2EFEF=2BF=8,AF=2EF=16,A=AFBF=12,FO=*AB+BF=10,cosZF=|RFFFQ1由BEFsAF,得抚=斧=希=赤设BE=H则AE=2虹由AE2BE2=AB2得(2k)2k2=122，解得&=代,故BE=/5.【学力训练】1-2/1321*33弓由CD2=CBCA=CB(AB+CB),得CB=-1,连OD,由RtAODCcz)RtAEBC,得零=焉4.A5,A6.C7.(1)AB=AP；(2)PA2=PCPB=PDPO$(3)PC=o8(1)PA2=PBPCPD戸,器=铝又ZP=ZP,ZPBDs/PEC；(2)作OG丄AB于G,PEAF,AG=*AB=6.OGEDFA,ZAOG=ZEAF,AGotanZAOG=彳，OG=9,AO=VAG2+OG2=3/T3.9(=一4(加+2)2$0,5=2原方程为工26工+9=0解得BE=BD=3；(2)AEBE=GEFE=6箱，二AE=2州易证PBCs/PAB，ZPBDs/PAE,BC丽PB_BDBnBC_BD.一yA_BC_BD颅一击即丽_疋呵_丽_疋323李，故ZA=6011. 7BD=CD=4,由厶BCEcAACB得BC2=CEAC,AE=6,CE=2由BEDE=AEEC=12.BD=BE+EDBC19+CD=8,BE十ED7,DE=6,BE=*，可推得符合条件的是DE=3,EE=4或DE=4,BE=312. A13.B可证明DE=GF,由BDDC=DEDF=DE(DG+GF),得DE2DE-1=Q9解得DE二气二14. 连OC,则OCAD,可证明PC为O切线，PC2=PFPA,又由PEFs/PAE,得PE2=PFPA,故PC?=PE2,艮卩PC=PE15. (1)略(2)线段AB与OF是平行的，不妨设AB=BC=2a9连BP,BF,贝ijEA2=EPEC,EB2=EPEC,:.EB=EA=a,又EC=辰，由AEPcoCEA，得篠=黑，代AP=，又AB?=APAF,.AF=5ECAC5庾,又厶ABPcAFB,：.帶=器，得BF=42a,/OBF中，OB=OF=sBF=罷a,；*ZFOB=90,又AB丄OB,AAB/OF,(3) VAB/OF,：，焉=鴿=盏=4又OH+BH=a,.，.BH=#a,CH=a+*a=罟,BHCH=y.16. 连PO交AB于H,设DE=才，则PA2=PE-PC=2Q+3),在RtAPH中，AP?=AH*+PH,即AH?+PH2=2(z+3)，在RtAPHD中，PH?+DH?=Q+2尸，又ADDB=EDDC,而ADDB=(.AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,：.AH2-DH2=j:1，由得(乂+2尸+乂=2(乂+3),解得DE=z=律_3.17. 设方程两根为T|,丄1心，则-fl+卫=42怡，工口2=怡.由题设及知,口、比都是整数，从、消去以得(2t,+1)(2也+1)w9,*W4且当怡V0时，乜=4*故最大的整数根为4,于是O的宜径为4,所以BCW4VBC=PC-PB为正整数，/.BC=1,2,3或4连结AB.AC,由厶PABsAPCA，得PA!PBCPB+BC)(1)当EC=1时，由得,pa2=PB2+PB,于是PB!PA2(PB+1)J,矛盾.(2当BC=2时，由得,PA2=PB2+2PB,于是PB2PA2(PB+1)2,矛盾.(3) 当BC=3时，由得，PA1PBz+3PB,(PA-PB)(PA+PB)=3PB由于PB不是合数，结合PAPBPA+PB,故只可能(PA-PB=1JPA-PB=3IPA-PBPBPA+RB=3PB,PA+PB=PB,PA十PB=3,(PA=2_-解得此时PA2+PB2+PC2=21PB=1,(4) 当BC=4时由得，PA!=PB!+4PB,于是(PB+1)2PB!+4PB=PA2(PB+2)s矛盾.综上所述PA2+PB2+PC2=21.