勾股定理习题巩固提高及习题解析

勾股定理习题巩固一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是 A. ，B. ，C. ，D. ， 3. 如图，点 为正方体左侧面的中心，点 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 ，一蚂蚁从点 沿其表面爬到点 的最短路程是 A. B. C. D. 4. 如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 A. B. C. D. 5. 如图所示是一棱长为 的正方体，把它分成 个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点 爬到点 ，那么 ， 间的最短距离 满足 A. B. C. D. 或 6. “赵爽弦图”是由 个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形的两条直角边的长分别是 和 ，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为 A. B. C. D. 二、填空题（共10小题；共50分）7. 定理“直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方”的逆定理是： 8. 如图， ， 9. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是： 10. 如图，将一根 长的细木棒放入长、宽、高分别为 ， 和 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 11. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 12. 已知一个直角三角形的三边的平方和为 ，则斜边长为 13. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 14. 若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是 15. 如图，将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ，若 ，则 的面积为 16. 如图，在 中， ，点 在 上，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，则 的长为 . 三、解答题（共22小题；共286分）17. 如图，已知在 中， 交 于点 ，（1）求 ， 的长；（2）求证： 是直角三角形 18. 有一圆柱体高为 ，底面圆的半径为 ，如图，在 上的点 处有一只蜘蛛，在 上的点 处有一只苍蝇，蜘蛛要从点 处沿圆柱体表面去吃点 处的苍蝇，求蜘蛛爬行的最短路径长（ 取 ） 19. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 爬一个顶点 ，如果正方体棱是 ，求最短的路线长 20. 如图，在 中， 是 的中点，求 的长和 的面积 21. 如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的 点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面上与 点相对的 点处的食物（ 的近似值取 ，下同）（1）当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少?（2）当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时也可沿 到上底面爬行，最短路程是多少?（3）探究：当圆柱的高为 ，圆柱底面半径为 时，蚂蚁怎样爬行的路程最短?路程最短为多少? 22. 一只蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方体纸箱的 点沿纸箱爬到 点，如图，求它爬行的最短路线的长 23. 如图，将长方形纸片 的一边 向下折叠，点 落在 边上的点 处已知 ，求 的长 24. 如图，铁路上 ， 两站（视为直线上两点）相距 ，有 ， 两个村庄（视为两个点）， 于点 ， 于点 ，已知 ，现在要在铁路 旁建一个土特产收购站 ，使得 ， 两村到收购站的距离相等，那么收购站应建在离 站多远处? 25. 如图，某工厂 前有一条笔直的公路，从工厂 原有的两条小路 ， 可以到达公路，经测量， 千米， 千米， 千米，现需要修建一条公路，使工厂 的负责人员到达公路的距离最短，请你帮工厂 设计一种方案，并求出所修公路的长 26. 如图所示是一段楼梯，已知 ， ，楼梯宽 .一只蚂蚁要从 点爬到 点，求蚂蚁爬行的最短路程. 27. 如图，在长方形 中， 是 边的中点， 是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，求 的最小值. 28. 如图是黄河公园三个景点 ， 构成的直角三角形，由于 ， 景点之间有一山相隔，为方便游客，工作人员准备在 ， 之间挖一条隧道已知 ，求这条隧道至少要修多少千米 29. 如图，一机器人在点 处发现有一个小球自 点出发沿着 方向做匀速直线运动，机器人自 方向以与小球同样的速度前进拦截小球，在点 处截住了小球，求机器人行走的路程 30. 如图，折叠长方形 的一边 ，使点 落在 的点 处，已知 ，求 的长 31. 如图所示，海中有一小岛 ，在该岛周围 海里内有暗礁今有货船由西向东航行，开始在 岛南偏西 的 处，往东航行 海里后，到达该岛南偏西 的 处，之后继续向东航行你认为货船继续向东航行，会有触礁的危险吗?计算后说明理由 32. 如图，一根电线杆在离地面 处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部 处求电线杆折断之前有多高 33. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，现将直角边 沿直线 折叠，使它恰好落在斜边 上，且与 重合，求 的长 34. 已知，如图所示，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边的点 处，如果 ，求 的长 35. 如图所示， 两点与建筑物底部 在一条直线上，从建筑物顶部 点测得 ， 两点的俯角分别是 ，且 ，求建筑物 的高 36. 如图，在矩形纸片 中，点 在 上，将 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，求 长 37. 一架梯子的长度为 米，按如图所示方式斜靠在墙上，梯子底部距离墙底端 米，这个梯子顶端离地面有多高?如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米? 38. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，现将直角边 沿直线 折叠，使它恰好落在斜边 上，且与 重合，求 的长答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. B6. C【解析】提示：由题意可知大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 .所以小正方形的面积是大正方形的面积的 .第二部分7. 三角形中两边平方和等于第三边的平方的是直角三角形8. ，9. 如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等10. 11. 【解析】如图，将立体图形展开转化为平面图形，一条直角边（即枯木的高）长 尺，另一条直角边长 （尺），因此葛藤长为 （尺）12. 【解析】设直角三角形的两直角边分别为 ，斜边为 ，根据勾股定理得：， ， ，即 ，则 13. 两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”故答案为：“两直线平行，同位角相等”14. 直角三角形【解析】 ， ， 此三角形是直角三角形15. 【解析】 将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ， 设 ，在 中，根据勾股定理得： ，即 ，解得 ， 的面积为 16. 第三部分17. （1） 在 中， 在 中， （2） ， ， ， 是直角三角形18. 如图，沿 和 剪开，过点 作 于点 ，连接 则 ，在 中，由勾股定理得：19. 把正方体展开如图，则 20. 在 中， ， 是直角三角形， 是 的中点， ， 在 中， ， 21. （1） 将圆柱体展开，连接 ， 底面半径 厘米， （厘米） 圆柱的高 厘米，即 厘米 （厘米） 蚂蚁爬行的最短路程是 厘米（2） 当蚂蚁沿侧面爬行时，同（1）的方法： 厘米，（厘米）， （厘米）当蚂蚁沿 到上底面，再沿直径 爬行时，有 （厘米）. ， 最短路程是 到上底面，再沿直径 爬行，总路程为 厘米（3） 在侧面，沿 爬行时，沿 经过直径 时， .当 时， .整理，得 ，由于 取 ，所以 .当 时，两种爬行路程一样当 时，整理，得 ，即 时，沿 经过直径 到点 时所走路程最短同理，当 时，沿侧面 走，路程最短 当 时，沿侧面 走和沿 到 走路程一样长，为 或 当 时，沿侧面 走路程最短，为 当 时，沿 经过直径 到点 时所走路程最短，为 22. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形 .根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线 之长在 中， 底面边长 ， 答：最短路程约为 23. 根据题意，得 ， ， 在 中，根据勾股定理，得 ， 设 ，则 在 中，根据勾股定理，得 ，即 解这个方程，得 ，即 的长为 24. 设 ，则 ， ， ，即 解得 即收购站应建在离 站 远处25. 过点 作 ，垂足为点 ，线段 就是要修的公路在 中， 是直角三角形，且 又 ，即 （千米），即所修公路的长为 千米26. 27. 如图，当 ，点 在 上时， 的值最小.根据折叠的性质，得 ，所以 ， .因为 是 边的中点， ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .28. ， （ ）答：这条隧道至少要修 千米.29. 设 ，则 在 中， ，解得 ，所以 所以机器人行走的路程 为 30. ， ， ， ， ， 31. 不会作 于点 . ， .又 ， . . .32. 因为 ，所以 答：电线杆折断前高 33. 34. 35. 由题意可知 ， ， . . . ， . .答：建筑物 的高是 36. 由折叠性质可知：，在 中，由勾股定理得：， ， 设 ，则 在 中，由勾股定理可知：，即 ，解得： 37. 由题意可知：梯子的高度 （米）设梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了 米.则 .解得 . 梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了 米.38. 在 中，根据勾股定理，得 .设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理，所以 .解得 .所以 的长为