分式和一元二次方程考点例讲和习题训练

2.2 分式方程和一元二次方程【教学目标】1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来.2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根.3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.【重点难点】重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法.难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性.考点聚集考点1 一元二次方程的概念及一般形式1）一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程；2）一般形式：a+bx+c=0 (a0)考点2 一元二次方程的解法：1）直接开平方法：它适合于=形式的方程；2）因式分解法：它最常用的方法主要运用提公因式法，平方差公式，完全平方公式和二次三项式+（p+q）x+pq型因式分解；3）公式法：它是一种“万能”的公式，一定要先把方程整理成一般形式；方程a+bx+c=0，且-4ac0在因式分解不能奏效时，往往用公式法，使用公式法时，则=；4）配方法：这是一种重要数学方法，也是一种“万能”的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程；配方法解方程的步骤：化方程项系数为1把常数项移到方程的另一边在方程两边加上一次项系数一半的平方把方程整理成=b的形式运用直接开平方法解方程。考点3 一元二次方程的应用：1）增长率中的等量关系：增长率=增量基础量；设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a=b，当m为平均下降率时a=b；2）利率中的等量关系：本息和=本金+利息；利息=本金利率期数；利息税总额=利息总额利息税率；3）利润中的等量关系：毛利润=售出价-进货价；纯利润=售出价-进货价-其他费用；利润率=利润进货价。考点4 一元二次方程的根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b24ac 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根； 当0时，方程没有实数根。考点5 一元二次方程的根与系数的关系：1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么，2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=P，x1x2=q 3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1x2=0；考点6 分式方程：1） 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；2） 使方程的分母等于零的根：在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为0；3）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，即分式方程整式方程。考点7 分式方程的常用解法：直接去分母法，方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。考点8 列分式方程解应用题的注意事项：列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【考点例解】例1 如果关于的分式方程无解，那么的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3.分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程.解答：A.例2 解分式方程：.分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根.解答：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 方程两边同时除以2，得 经检验，是原方程的解.例3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？分析：本题考查了列分式方程解应用题. 解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进而求出各自的总费用.解答：设甲队单独完成工程需要天，则乙队单独完成工程需要天. 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且和都符合题意. 应付甲工程队的费用为：（元），应付乙工程队的费用为：（元）. ， 该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.【考题选粹】1.（2007青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路. 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务. 若设原计划每小时修路米，则根据题意可得方程 .2.（2007怀化）解方程：.一元二次方程【教学目标】1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式.3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【重点难点】重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程.难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性.【考点例解】例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（ ） A. B.C. D.（2）已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或-1. （3）一元二次方程的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根分析：本题主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程的概念，第（2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式. 在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.解答：（1）D； （2）A； （3）A.例2 解下列方程：（1）； （2）.分析：本题主要考查一元二次方程的解法，其中第（1）小题可选用因式分解法，第（2）小题应该选用公式法. 解答：（1）原方程可化为： 将方程左边因式分解，得 或 由 得 原方程的解是，.（2）这里 ， ，.例3 某商场将进价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能销售600个. 调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10台. 如果该商场想实现每月10000元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？分析：本题考查了列一元二次方程解应用题. 在降价销售问题中，利润（现售价进价）原销量（原售价现售价）/单位涨价变化销量.解答：设这种台灯的售价为元，则现在的销量为（）台. 根据题意，得 整理，得 解得 ，. 答：这种台灯的售价应定为50元或80元. 当售价定为50元时，应进500台；当售价定为80元时，应进200台.【考题选粹】1.（2007巴中）三角形的一边长为10，另两边长是方程的两个实数根，那么这个三角形是 三角形.2.（2007绵阳）已知，是关于的方程的两实根. （1）试求，的值（用含，的代数式表示）； （2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数，满足什么条件时，这个直角三角形的面积最大？并求出其最大值.【自我检测】一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）、当 a 时，方程 (a1) x2x20 是一元二次方程。、方程 2x (1x)3 的一般形式为。、当 x时，分式的值等于。、方程 2x232 的解为。、方程 1 的解为。、方程 x25x60 可分解成与两个一元一次方程。、已知 m 是方程 x2x20 的一个根，则 m2m。、2x24x102 (x)2。、以 2 和 3 为根的一元二次方程为（写出一个即可）。10、如果方程 x23xm0 的一根为 1，那么方程的另一根为。11、如果方程 1 有增根，那么 m。12、长 20m、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，若四周未铺地毯的留 空宽度相同，则留空的宽度为。二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）、下列方程中是一元二次方程的是（） A、x35B、xy3 C、x20D、2x210、若关于 x 的方程1 无解，则 a 的值等于（） A、0B、1C、2D、4、方程 2x (x2)3 (x2) 的根是（） A、xB、x2C、x1，x22D、x、把方程 x234x 配方得（）A、 (x2)27B、(x2)21C、(x2)21D、(x2)225、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成 任务，则可列出的方程为（） A、5B、5C、5D、5、 把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：h20t5t2， 当 h20 时，小球的运动时间为（） A、20sB、2sC、(22) sD、(22) s三、解下列方程：（每题 6 分，共 36 分）、x (x5)24、2x2(2) x、x24x5、4 (x1)2(x1)2、 、1四、解答题：（每题 8 分，共 32 分）、解关于 x 的方程1x（ab）解、axabbxaxbxab(ab) xababx、方程 x23xm0 的一个根是另一根的 2 倍，求 m 的值。及诶、设两根为 k、2k，则解得k10，k21当k10时，m0 当k21时，m2m0或2R1R2R、电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻。如图所示，当两个电阻 R1、R2 并联时，总电阻满足，若R14，R26，求总电阻R。解：R、电力局的维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度。解：设摩托车的速度为 x 千米/时x40检验：1.5x60五、如图，矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，求经过几秒时，PBQ的面积等于 8 平方厘米？DCQBAP五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 2秒或 4 秒 3 秒时，面积最小，最小值为63cm2六、（12分）小明的爸爸下岗后一直谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他又按原零售价的5折售完剩余的水果。请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？解：设甲种水果批发价为 x 元/千克，则乙种水果的批发价为(x0.5)元/千克由题意，得10 x24.5x50 x12.5 x22 经检验：都是原方程的根但x2.5时，乙种水果的批发价2.50.53元，高于零售价，不含题意舍去x2甲：2.8()1002.84510026乙：2.815018261844(元)七已知：如图11，在矩形ABCD中，E,F分别是边BC,AB上的点，且EF = ED，EFED（1）求证：AE平分BAD（4分）ABCDEFO（2）若AB = 4，AD = 7，AE与DF相交于点O，求DOE的面积（4分）证明：（1）在矩形ABCD中FED=90AEB+CED=90CDE+CED=90CDE=AEBB=C=90，EF=DEBEF=CDECD=BEAB=CDAB=BEBAE=45DAE=45AE平分BAD （五）一、1、12、2x22x303、34、x45、x06、x60x107、x2x208、189、x2x6010、x211、312、2.5二、1、D2、C3、C4、B5、B6、B三、1、x13，x282、x10，x23、x15，x214、x13，x25、x56、x1，增根原方程无解四、1、axabbxaxbxab(ab) xababx2、设两根为 k、2k，则解得k10，k21当k10时，m0 当k21时，m2m0或23、解：R4、解：设摩托车的速度为 x 千米/时x40检验：1.5x60五、 2秒或 4 秒 3 秒时，面积最小，最小值为63cm2六、设甲种水果批发价为 x 元/千克，则乙种水果的批发价为(x0.5)元/千克由题意，得10 x24.5x50 x12.5 x22 经检验：都是原方程的根但x2.5时，乙种水果的批发价2.50.53元，高于零售价，不含题意舍去x2甲：2.8()1002.84510026乙：2.815018261844(元)