结构力学静定结构的受力分析

第1节静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-la）。（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）（图2-2-1b）。（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-lc）。推论，若将其中一杆换成力Fp,则与Fp在同一直线上的杆的内力大小为Fp,性质与Fp相同（图2-2-ld）。(a)FniF=F=0N1N2FFN1.N2FF=NF3，F=0N1N2N3(b)FF=F，F=FN1N2N3PF=F，F=FN1N2N3N4图2-2-l（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如图2-2-2所示对称轴处与A点相连的斜杆1、2都是零杆。因为若将结构从对称轴处截断，则AB杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a中AB杆和B支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB和支座B的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。2、截面法截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。截面单杆可分为两种情况：（1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a）中，CD、AD、AB杆都(a)m(b)m图2-2-62）截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆也是截面单杆，如图2-2-6（a）,（b）中，a杆是截面m-m的单杆。3、结点法与截面法的联合应用联合应用结点法和截面法可以求解复杂桁架（求解复杂桁架也可以用下面讲到的通路法和代替杆法）。4、通路法（初参数法）通路法和代替杆法主要用于求解复杂桁架。通路法的基本思路是从三杆相交的结点中取任一杆件的轴力作为初参数x（待定），由此结点出发,沿着可以用结点法求解的一个回路依次取结点算出各杆轴力与x的关系，最后利用闭合条件求出x后，再计算其余各杆轴力。例如图2-2-7中，设Fn4由结点G,求得F=-x3N11图2-2-7二x，依次取结点E、G、F和B。由结点E，求得F=2込x，3N8FN6FN9x；由结点F,得F3N10F=2C2x;由结点B，N73得FN4根据闭合条件有（这里杆4的轴力从结点E经G、F到B所求的应该相等），x=2x-FP323解得F=x=-FN42P已知FN4后，可求出其余各杆轴力，结果见表2-1。表2-1杆号1，23，45，67，89，1011轴力（XFP）3/23/2v5/2-7213/25/2杆长2aa5a2ay13a2a5、代替杆法此法是利用更换杆件连结部位使复杂桁架变成简单桁架，并使新桁架与原桁架等价（各杆轴力相同）以求得原桁架轴力。例如图2-2-7中，把AG杆改为CF杆，就变换为图2-2-8（a）所示的简单桁架。如果新桁架在原有荷载和Fnag（真值）共同作用下使新杆轴力Fncf为零，那么根据静定内力解答唯一性,新桁架的各杆轴力就是原桁架各杆轴力。Fn图(b)-If32FpFJ2FJ2图2-2-8下面讨论具体计算步骤。（1）分别求新桁架在原荷载单独作用下和在被替换杆的轴力为单位力作用下各杆的轴力fnp和F,NPN如图2-2-86）和（c）所示。（2）对CF杆建立f+FF=0，即:工乙F-5F=0，求得F二空FNPNNAG12P613NAGNAG2P（3）按F=F+FF求得原桁架各杆轴力FN，本例结果如图（d）所示，与表2-1所得结果NNPNNAG相同。注意:用代替杆法分析桁架内力的关键是选取被代替杆。选取的原则是拆除此杆后所确定的代替桁架易于内力计算。例2-2-1用杆件代替法求图2-2-9所示桁架的内力Fn1。（同济大学1998）解:图2-2-9（1）确定代替桁架。取B支座链杆为被代替杆，代替桁架如图b所示。（2）建立等价条件。对CD杆有Fnp+FNDX1=0。对图b的代替桁架先求支座反力，判断零杆。然后取结点D,由YF=0，求得FND一Fp/2；在代替桁架的被代替杆位置作用单位力X1=1（图C）,y1求得；FCD=-，代入等价条件求得x=-FNCPD=-Fx3=-3Fp（I）N31Fcd224N（3）求FniF=Fi+FiX=0+兰（3F）二卫F（压力）N1NpN1342p四、桁架内力计算的技巧（1）先判断是否有零杆，以减少计算量。（2）用截面法时，尽量利用截面单杆的概念，使一个平衡方程只包含一个未知力，避免解联立方程。（3）利用对称性简化计算。五、例题解析一）零杆的应用例2-2-2图2-2-10a所示桁架零杆（包括支座链杆）的数目为：（）（浙江大学2005）例2-2-3图2-2-11a所示对称桁架中，零杆的根数为（不含支座链杆）。（中南大学2005）答案：8根。零杆示于图b。例2-2-4图2-2-12a所示结构桁架杆件零杆的个数为。（南京工业大学2005）答案：17根。提示：根据静定结构的性质如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。零杆示于图bo例2-2-6如图2-2-14a所示桁架结构1杆轴力一定为：（）（一级注册结构工程师基础考试复习题）A、拉力；B、压力；C、零；D、需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质。答案：Co解：取I-I截面内部为隔离体，对任意两个未知力的交点取矩，都可求出第三个未知力等于零，进一步得出组成内部三角形的杆件都是零杆，因此1杆的轴力等于零。例2-2-7判断图2-2-15a所示结构零杆的个数。答案：4根，见图bo提示：反对称荷载下，对称轴处的竖杆为零杆。例2-2-8求图2-2-16a所示桁架C支座反力和杆件1的轴力。（同济大学2006）图2-2-16解：首先判断零杆，分析可知杆FB、DB、AG均为零杆，去除零杆后，原结构变为图b所示。用结点法，取D结点分析YF=0n辽F+F=0nFx2NDFPNDF=-込F，PYF=0n2f-Fy2NDFN1=0二F=-F(压力)N1P=0nF=2FP3杆的轴力。（中国矿业大学2005）Q)由结点F易知，F=F=_、帀NCFNDFP再取C结点分析YF=0nF=FxNCGNCFYF=0n(F+F)+Fy2NCFNCGRCRC例2-2-9求出图2-2-17a所示桁架体系中1、2、(a)(b)2m3m图2-2-18-9F。4P解：先判断零杆（图b）,Fn1=0,再由结点B、图2-2-17例2-2-10计算图2-2-18所示桁架中杆件a、b、c的轴力。（重庆大学2005）A受力平衡可求出F=_卫F,FN32PN2解：先判断零杆，易得F=0,F=0，再取A结点，得F=-F（压力）。NaNcNbP（二）结点法与截面法例2-2-11图2-2-19所示静定平面桁架，在荷载作用下，杆件1的轴力Fn1=FN2=。（湖南大学2006），杆件2的轴力解:法一、截面法。先取I-I截面右侧分析，由工M=0求出Fa=20/3kN（拉力）。再取II-II截DNAB面右侧分析，由工M=0求出F=-25/3kN（压力）。最后由C结点水平方向受力平衡求出EN1F=-F=25/3kN（拉力）。N2N1法二、截面法与结点法的联合应用先取II-II截面右侧分析，由工F=0得F-F+10=0。再取结点C分析，由工F=0得F+F=0，yy1y2xy1y2x1x2联立求解方程即得答案。例2-2-12图2-2-20a所示桁架a杆的内力FNa=。（湖南大学2004）解：用截面法截取上半部分分析（图b）。Na3的轴力FN1NaFN2和FN3。（同济大学2005）FN2图2-2-21解：由整体ZF=0得FxA=Fp；Zma=0得FyB=3Fp；ZFy=0得FyA=2Fp作IT截面，分析左侧，ZM=0得FN2=-土IFp=-2.309Fpc3分析结点B,Zf=0即FNBEsin60+F=0得FNBE=-2总FpyZF=0即Fn3+FnbeCos60=Fp得FN3=2.732FP由ZF=0nFcosa=30nF=50kN拉力）。x作II-II截面，分析左侧，ZMC=0可得FN4=-4*33Fp分析结点F，ZF=0nFyN1F=N2=-F，ZF=0nFNFGxN4+Fcos60x2一FN1N2-2.309Fp（压力），FN3=2.732Fp（拉力）=0nFN1=0；综上，FN1=0例2-2-14求图2-2-22所示桁架结构杆1和杆2的轴力。（西南交大2005）图2-2-22例2-2-13试分析图2-2-21所示桁架并计算杆1、2解：选取II截面，取右侧分析，YM=0nF=FpBRC2再取II-II截面右侧分析，仃（压力）。2再取结点F、E分析，易得F=/2f（拉力）。N1P例2-2-15计算图2-2-23a桁架中a、b、c杆的轴力。（中国矿业大学2006）70kND14kN（b）（a）2m3m2m3m.2mE14-A40Fnab图2-2-23解：按与几何组成相反的顺序进行内力分析，即求出支座反力后三角形ADE作受力分析（图b）：截断AB、CD、EF三根杆件，取由YF=0nF=0；YM=0nF=10kN（压力）xNCANa再由结点D，工F=0得f=14xcos45=9.9kN（拉力）。tNb例2-2-16试求图2-2-24a所示桁架中a杆和b杆的内力。（北京科技大学2004）图2-2-24解：先取II截面以左分析（图b）oF8由YM=0nFx6+3Fx8-px8Fx4=0nF=-一F（压力）。ANbP2PNb3P再取11一11截面以左分析（图c），由工M=0nFx6+Fcosax6+3Fx12-x12-Fx8-Fx4=0nF=5F（压力）。BNbNaP2PPNa12P例2-2-17请求出图2-2-25a所示桁架a，b杆的内力。（华中科技大学2004）yA=3fp解：取整体分析，易得：F=4yB3P图2-2-252FPC4FpFNbNa取II截面以左为研究对象，由工m=0二F-31-Fxl=0nFLNCA3PNCA=5f（拉力）;9P再取11一11截面以右为研究对象，由工m=0nF-31-Fx1=0nF=F（拉力）；MNCD3PNCD9P最后，取结点C为研究对象，由工f=0nF-cos45+4F=5FnF=上2F（拉力）；由xNa9P9PNa9P17FYF0nF+F-sin452F0nFyNbNaPNb9例2-2-18求图2-2-26a所示桁架中1、2杆件的轴力。（北京交大2006）解：先将零杆示于图b,取I-I截面以左部分分析（图c），工M0nFxa+Fx丄xa0nF=_、5F（压力）FPNGDJ5NGDP-F/2）,P则Fnaf=Fp/2（压力）。取D点（图d），工F0nFF（T）。再对整体分析:yRDP由EM0nF-4aFx3a+Fxa0nFERAPPRA取结点F分析，可求得F-卫F（拉力），F=F（压力）,N12PNFGP最后分析结点G，由EFx-0得Fn2=Fp（拉力）。例2-2-19求图2-2-27a所示桁架各杆的轴力。（西南交大2006）图2-2-27解：取II截面左半部分为研究对象，由XM=0可得A支座的反力等于零，从而可以判断出G更多的零杆，剩下杆件的轴力也极易求出，见图bo例2-2-20对图2-2-28a所示桁架结构，（1）指出零杆；（2）求出支座反力；（3）求出其余杆的轴力。（西安建筑科技大学2003）xDFxc解：过程略，零杆和其余杆的轴力示于图bo支座反力F=0.5F（j）F=0.5F（T）；PxCxDF=1.5FQF=0.5FC）。yBPyAP例2-2-21计算图2-2-29a所示桁架各杆的内力。其中,（清华大学2004）2m2.5m1m板面承受3m宽的水压力。图2-2-29图中q=ybh=10x3x3=90kN/m，再将线性力化为结点力，用结点法或截解面法求得各杆轴力如图c,梁式杆的弯矩图和剪力图也见图c,注意：弯矩图为三次曲线，剪力图为二次曲线。例2-2-22试求图2-2-30a所示桁架指定杆件的内力FN1、FN2。计算简图如图b，（d）（b）图2-2-30Et?FNGEFN2解：作闭合截面I-I则所截得四根杆件除Fng外，其余各杆内力均交于结点C（图b），由a2M=0nF=FCxGEhP再取II-II截面以上部分为隔离体（图c）,2F=0nF=F=-FxxDFxEGhP结点D（图d），2F=0nF=-F=-FyN1yDFP结点E（图e）,2F=0nF=-F=-FyN2yGEP（三）对称性的利用例2-2-23图2-2-31a所示桁架结构杆1的轴力为零。（）（天津大学2005）答案：7。提示：将原荷载分成正对称和反对称（图b）,两图中杆1轴力均为零。例2-2-24图2-2-32a所示桁架支座A的反力（向上为正）是：（）（大连理工2005）A、答案：B。提示：先判断零杆，可知，两端支座反力都是零，易得答案。图2-2-33Na图2-2-34F=0，得A支座x提示：先判断零杆，再取I-I截面以上计算。F=3F（拉力），F=-空F（压力）。2PNb2P解：由于荷载反对称，可判断出A支座的竖向反力为零，见图b，又由整体Y的水平反力为零，从而判断出更多的零杆，故有FNa-0。再取对称轴右半部分分析，由结点法易得,F=F（拉力），f=NbPNc牛（压力）。例2-2-27南交大2000）图2-2-35a所示桁架分别承受图a、b所示两种荷载，试写出二者内力相同的杆件号。（西荷载，很容易判断出整个结构的零杆，示于图c中。(四)代替杆法与通路法例2-2-28图2-2-36+FX=0nF+(1)X=0,N1P解：取支座C为被代替杆，代替桁架如图(b),则对CD杆有FNP解方程得X=F，因此，F=X=F(j)，再对整体分析可得F=FpQ)HC1PHC1PRB2