第17讲 时变电磁场

第 17 讲 时变电磁场（1）本节内容：1, 法拉第电磁感应定律2, 位移电流3, 麦克斯韦方程组4, 边界条件1）电荷产生电场2）运动电荷或者恒定电流产生磁场3）静电场和静磁场独立存在，所以可以分开研究本章将讲述时变电场和时变磁场，两个场将不在独立，而是相互激发相互转化，构成统一的时变电磁场。当做为场源的电荷和电流随时间变化时，它们产生的电场 和磁场不仅是空间坐标的函数，而且也随时间变化。而且变化 的磁场要产生电场，时变的电场也要产生磁场。此时电场和磁 场互为因果，成为统一的电磁场的不可分割的部分。一，法拉第电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉第（Faraday）总结大量的实验结果发现，当与一个由导线组成的闭合回路相交链的磁通量 发生变化时，回路中将产生感应电动势，进而引起感应电流。 而且感应电动势等于磁通量变化率的负值。接通线圈1的开关K时，在线圈2中的感应电动势由第2章知道，在导体内维持电流必须在导体内存在非保守场，我们可以用导体内的感应电场（非库仑电场）来定义感应电动势： =E - dlCin如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场 E ， 则 总电场E = E + EinCE - dl =J E - dl cin因此电场沿闭合路径的积分为.(E + E ) - dl =CincE - dl = -d J B - dSdt S上式为电磁场表示的法拉第电磁感应定律的积分形式。穿过线圈回路磁通的变化可能是由于：随时间变化的磁场穿过（交链）静止的线圈， 或线圈在均匀磁场中连续改变它的形状或位置，或上述两种情况的综合，因此，上式是普遍适用的公式。如果线圈是静止的， 则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起， 此时上式可表示为：E - dl = -JdBdS在此之后，英国物理学家兼数学家麦克斯韦（ Maxwell） 对电磁感应定律进行了深入的分析，揭示了电磁感应现象的本 质，并得出了电场和交变的磁场之间的关系。他认为回路中感应电动势是由于交变的磁场激发了一种 非保守的电场的结果。这个电场称为感应电场。感应电动势与 感应电场的关系为：故电磁感应定律可表示为：E - dl =_J 8 B-dS以上讨论是导体回路的情况。但感应电场是由变化的磁场 激发的，不论导体是否存在，只要磁场变化，就要激发感应电 场，所以上式不只适合于导体回路，对任一闭合回路都是成立 的。由斯托克斯公式，上式可改写为：E-d = J VxE dS = -JaBs ar-dSS即：由于 S 任意，所以：aB dS = 0dr丿V x E 二一aBa这就是法拉弟电磁感应定律的微分形式，它清楚地表明了 交变磁场和感应电场间的关系。电场的源有两种：静止电荷，时变磁场二， 位移电流变化的磁场会产生电场， 那么变化的电场能否产生磁场呢？回答是肯定的。麦克斯韦把恒定磁场中的安培定律用于时变场时出现了矛盾， 为此提出位移电流的假说， 对安培定律做了修正。位移电流的假说就是变化的电场产生磁场的结果。考察安培环路定律在时变场情况下是否成立。S2电容器的位移电流先看一个例子。一个中间填理想介质的电容器接在交流电源的两端，1为一个与导线交链的闭合回路，若取一个以1为边 界的曲面S与导线;闾交，则由安培环路定律:.H dl = J J dS = i 0lS1i 导线中的传导电流若取一个曲面 S 不与导线相交而通过两极板之间，则/ H dl = 00l这样磁场强度沿同一闭合路径的线积分出现了两种结果，这说明安培环路定律用于时变场要产生矛盾。麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。他首先分析了这一矛盾的实质，这实际上反应了恒定电流条件下的安 培环路定律与时变条件下的电流连续性方程之间的矛盾。安培环路定律：Vx H = J要求而在时变场中，电流连续性方程是：adr二者是矛盾的。我们知道，电荷守恒定律是普通正确的而安培环路定律在时变场情况下必须加以修正。Maxwell 认为，在时变情况下，高斯定理和磁通连续性原 理仍然适用。即：V - D G t)=p 6, t)J。D 6, t). dS = Q (t)SV - B(r,t)= 0B (r,t) dS 二 0S 这样电流连续性方程可写为：V. J + =V J +% D )= 0dtdt即：V- J +dD、dt丿V J 主 oJ+aD此式表明，在时变场中，,但矢量 方的散度等于o,若用此矢量代替安培环路定律中的J,即得:Vx H = J +dDdt这样，它与电流连续性方程就是相容的了式中dl称为位移电流密度，其单位为（A/m）。引入位移电流之后，一开始的例中的矛盾也就不复存在，因为： H - dl 二.严lS击丿-dS 二 JS2在两极板之间，电流以位移电流的形式存在，从而保持了 电流的连续性。上式还表明，变化的电场也将激发磁场。麦克斯韦根据电场和磁场相互激发，预言了电磁波的存在，这一预言在后来得 到了实验的证实。磁场可以由电流来产生，也可以由变化的电场产生。例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为 E sin o t 铜的电导率 c = 5.8 x 107 s / m,88.00 解： 铜中的传导电流大小为J = cE = cE sin otc0T 8D8E厂J = = 8 = 8E COS Otd drdr0172 时x 10 - 9Jd =O8= 换=9.6 x 10-19 fJ c 5.8 x 107例：证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为 零。解： 根据麦克斯韦方程Vx H = J +dDdt可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为dD、dt丿-dS =J (VxH)-dSS(Vx H) -dS =J V (Vx H)dV 0SV三，麦克斯韦方程组麦克斯韦推广了法拉第电磁感应定律，得出交变的磁场产 生电场的结论；又于 1862 年提出了位移电流的假说，说明交 变的电场也能产生磁场。这表明了电场与磁场之间的紧密联 系，二者相互依存，又相互制约，成为统一的电磁场的两个方 面。上述两个方程构成了 Maxwell 方程组的核心，同时麦克斯韦认为除了高斯定理在时变情况下成立外，磁通连续性原理也是成立的，它们和上述二方程组成麦克斯韦方程组：Vx H = J +dDdtV x E =dBdrVD对应的积分形式为： dSq dD)j+s k 击丿 久 E dl =- d J B dS :d sj B dS = 0T)J SD dS = J P dV = QV在各向同性的线性媒质中，各场量之间的关系是D = 8 E B =卩 HJ =Q E媒质的本构方程或称电磁场的辅助方程从以上方程不难看出，前面讨论过的静电场，恒定电场和d 0恒定磁场的基本方程都不过是Maxwell方程组在dt时的 特例。Maxwell 方程组的正确性已为实验所证实，它适用于描述所有的宏观电磁现象，包括运动系统中的电磁现象。它构成了 宏观电磁理论的框架，电磁问题的求解最终都可归结为求Maxwell 方程组的解。麦克斯韦方程的物理意义：1， 第一方程是修正后的安培环路定律，表明电流和时变电场 可以激发磁场。第二方程是法拉第电磁感应定律，表明时 变磁场产生电场之一重要事实。这两个方程是麦克斯韦方程的核心，表明时变磁场和时变 磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在 空间形成电磁波。2，第三方程表示磁通的连续性，即空间的磁力线既没有起点也没有终点，从物理意义上讲是空间不存在自由磁核的结 果。第四方程是电场的高斯定理，它对时变电荷和静止电 荷都成立。表明电场是有通量源的场。3， 时变场中的电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始 于正电荷终止于负电荷。而磁场的散度恒为零，旋度不为 零，所以磁力线是于电流交链的闭合曲线，并且磁力线与 电力线相互交链。在远离场源的无源区域，电场和磁场的散度都为零，这时， 电力线和磁力线自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。4， 一般情况下，时变电磁场的场矢量和场源既是空间坐标的 函数，又是时间的函数，若场矢量不随时间变化，上述方 程退化为静态场方程。5， 在线性介质中，麦克斯韦方程组是线性方程组，可以应用 叠加原理。交变电磁场的边界条件1,磁场强度H的边界条件H2由麦克斯韦第一方程：J H dl = J dS + JdSlSS岔H Al H Al = J -bhAl +2t1t b h AlVD 芦丿-dD -=J bAl +bhAlsH - H2t1t=J b + aD b hs8r号有限，所以第二项为0o tH - H = J b2t1ts或写成矢量形式：H - b x n 一 H - b x n = J2 1 s即:xH-fixH丿方i而石任芦 nx w -H )=7* 21s若无传导电流，则Hit =J 方sHit或恥12,电场强度E的边界条件E2由麦克斯韦第二方程:E M-E A/ =-ititdBbhldB有限，而20 E -E it itit即:或:itnx电场强度切向分量连续E13，磁感应强度B的边界条件2nhi1,冒1由麦克斯韦第三方程（磁通连续性原理）：j B - dS = 00S与恒定磁场类似的讨论可得：B - BIn （2n应强度的法向分量连续n 5 B 丿-0或： 2 13，电感应强度D的边界条件D2由麦克斯韦第四方程（高斯定理）j D - dS = Q0XS与静电场类似讨论可得：D D P或：2nIn、 Sn D D 丿。21S)=J)=0 S )= D)=21n x(H - H n x G en-BnSb综上所述，交变电磁场中的边界条件可归纳为: H - H = J2t1tE 二 E1t2tB 二 B1n2 nD -D2 n1n下面讨论一特例理想导体表面上交变场的边界条件。所谓理想导体是指 =g的导体。对于于很大的良导体， 当频率很高时，电磁场只能存在于导体表面很小的薄层内，这 种现象称为集肤效应（以后在均匀平面波部分详细讲）， 越 大，集肤效应越显著，透入深度越小（如在10GHz,透入铜的 深度为6.6 x 10 -5 cm）, =3时，透入深度为0,即在理想导体 内部电磁场处处为 0。由高斯定理和安培环路定律可知，电荷 和电流只能存在于理想导体的表面上。根据上述边界条件，在理想导体表面上：Sb或矢量形式可见，在理想导体表面上，电场只有法向分量，磁场只有切向分量。例已知两无限大理想导体板相距为a，如图，其间电场强度为E = a E0 sin 竺xcos61-az （ m -常数）,求两板内壁上y 0 a的面电流密度。z解.7 =恥片欲求7 ,应先求片S由麦克斯韦第二方程:V x =dBTdHo rdEdE即：一 、y x + 、 y z 二一卩zX0dHTm兀-aE sin xsin0 ainCet -az)X + mK E cosa 0兀 xcos61-az)ZadH两边对 t 积分得：齐 a E . m兀 H 二一 o siney aox cosCt - a z -m兀m兀.CyE cosx sin Vet -a z)za 0 a0m兀ey a0E sin(et-az)Z0八mTt(yE smtenocz 丿(o|Li a 0-y mn E Osin Cot-oczmil c 0本节回顾：1, 法拉第电磁感应定律2, 位移电流3, 麦克斯韦方程组4, 边界条件作业5.95.105.11