2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 数列求和(含解析)

2019-2020年高三数学一轮复习专项训练数列求和（含解析）1、已知数列a的通项公式是a=23n-i+(1)n(ln2ln3)+(1)nnln3,求其前n项和S.nnn解S=2(1+3Hb3n-1)+1+11HH(1)n(ln2ln3)+1+23HH(n1)nnln3,所以当n为偶数时,厂13nnnSn=2X口+2ln3=3n+2lnI；当n为奇数时，13n(n1Sn=2XY3(ln2ln3)njln3=3n-n虬3ln21.综上所述，S=n3n+ln31,n为偶数,3-ln3ln2-1,n为奇数.2、在等比数列a中，已知a=3,公比qMl,等差数列b满足b=a,b=a,b=a.n1n1142133求数列a与b的通项公式；nn记c=（1）nb+a，求数列c的前n项和S.nnnnn解（1）设等比数列a的公比为q,等差数列b的公差为d.nn由已知，得a=3q,a=3q2,b=3,b=3+3d,b=3+12d,231413故严=3+3d，3q2=3+12dq=1+d,q2=1+4daq=3或1（舍去）.所以d=2,所以a=3n,b=2n+1.nn(2)由题意,得c=(1)nbba=(1)n(2nb1)b3nnnnS=c+cbcn12n=(3+5)+(7+9)(1)n1(2n1)+(1)n(2n+1)+3+323n.3nb133nb13当n为偶数时，誌计丁-2=丁+口-23nb133nb17当n为奇数时，Sn=(n1)(2n+1)+丁2=丁旷所以S=n3n+l3T+n23n+i7Vn2n为偶数,n为奇数.3. 若数列a的通项公式为a=2n+2n-1,贝燉列a的前n项和为().nnnA2n+n2-1B2n+1+n2-1C2n+1+n2-2D2n+n-2O|0解析Sn=12+2=2n+12+n2.答案C4. 数列a的前n项和为S，已知S=12+34(1)n-1n,则S=nnn17()A.9B.8C.17D.16解析S=12+34+56+1516+17=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(1417+15)+(16+17)=1+1+11=9.答案A5. 已知等比数列a满足2a+a=3a，且a+2是a,a的等差中项.n132324(1) 求数列a的通项公式；n若b=a+log丄，S=b+b+b，求使S2n+1+470成立的n的最小值.nn2an12nnn解(1)设等比数列a的公比为q,依题意，有n2a+a=3a，1 32a+a=24a3+2fac+q?=3aq，即屮121aq+q3=2aq2+4,I11由得q23q+2=0，解得q=1或q=2.当q=1时，不合题意，舍去；当q=2时，代入得a=2，所以a=22n-1=2n.1n故所求数列a的通项公式a=2n(nWN*).nn(2) bn=an+lOg2=2n+lOg22：=2nn-n所以S=21+222+233+2nnn=(2+22+232n)(1+2+3n)n+n211=2n+12一2口一2*2.因为S2n1470，解得n9或n0,S=n2+n.nnn于是a=S=2,当n22时，a=S一S=n2+n一(n一1)2一(n一1)=2n.11nnn1综上，数列a的通项a=2n.nnn+1(2)证明由于a=2n,b=n+,nnn+232nn+114n2n+2=16贝bnn丄一1一n2n+22+土-出-三+十n；2+丄一+n+2n2n+12-=昔1+2-払1+2=器2、（XX滨州一模）已知数列a的前n项和是S,且S+2annn2n(nWN*)(1)求数列a的通项公式；n设bn=l0g1(1-S+i)(nWN*)，令T=bb+bb+T廿31223nn112解(1)当n=1时，ai=Si，由Si+2ai=1,得%=,当n三2时，S=1a,S=1a,n2nn-12n-1求T.n则SS=(aa),即卩a=|(aa),nn12n1nn2n1n所以a=ga(n三2).n3n121故数列an是以为首项，为公比的等比数列.故an=3(3)t=2(3)(nWN*).因为1Sn=2an=E)所以b=log+(1S)=log)n+1=n+1,nn+133311n+n+2n+1n+2因为计-nn1n+23、已知数列a的前n项和是S,且S+a=1(nWN*).nnn2n(1)求数列a的通项公式；n设bn=log1(1Sn+1)(nWN*)，令Tn=bb+，31223nn+112解(1)当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1,得%=,当n三2时，S=1a,S=1a,n2nn12n1求T.n则SS=(aa),即卩a=;-(aa),nn12n1nn2n1n所以a=a(n三2).n3n121故数列却是以为首项，为公比的等比数列.故an=|(3)1=2(3)(nWN*).因为1Sn=2an=l).所以b=log1(1S)=log*)n+i=n+1,nn+13丿33i111n+n+2n+1n+2因为丁nn1n+24.已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点，若数列啲前n项和为S,则S2014的值为1()2012A.20112010B20112014CC.20132014D.2015解析由已知得b=2，：f(n)=n2+n,111112014fnn2+nnn+nn+1S=1一丄+丄一丄+120141223201320142014201520152015答案D5. 正项数列a满足：32(2n1)a2n=0.nnn求数列a的通项公式a；nn令b=一-，求数列b的前n项和T.十a1n解(1)由a2(2n1)a2n=0得(a2n)(a+1)=0，由于a是正项数列，则a=2n.nnnnnn由知an2n，故bn-n+a2nn+n.Tn2卜2+2-3+n2n+1丿牛-6. 已知函数f(x)=X22x+4,数列a是公差为d的等差数列，若a=f(d1),a=f(d+l),n13(1) 求数列a的通项公式；n(2) Sn为aj的前n项和，求证：S+S+S吕.12n(1) 解a=f(d1)=d24d+7,a=f(d+1)=d2+3,13又由a=a+2d，可得d=2，所以a=3,a=2n+1.311nn+2n+(2) 证明S=一厂+1=n(n+2),n2右占=小=2b-3+2-4+3-5+n_n+22n+1n+丿三221+11+丿=37. 设各项均为正数的数列a的前n项和为S,满足4S=a24n1,nGN*,且a,a,a构成等nnnn+12514比数列.(1) 证明：a2=寸4%+5；(2) 求数列a的通项公式；n(3) 证明：对一切正整数有士+士+占2.aaaaaa21223nn+1(1) 证明当n=1时,4a=a25,a2=4a+5,1221又aO,.ah4a+5.n2讦1(2) 解当n2时，4S=a24(n1)1,n1n.4a=4S4S=a2a24,nnn1n+1n即a2=a2+4a+4=(a+2)2,n+1nnn又a0,.a=a+2,nn+1n当n2时，a是公差为2的等差数列.n又a,a,a成等比数列.2 514a2=aa，即(a+6)2=a(a+24),解得a=3.52142222由（1）知a=1.又aa=31=2,121数列a是首项a=1,公差d=2的等差数列.n1a=2n1.nn212计121-爲昴考点三错位相减法求和1、(xx山东卷)设等差数列a的前n项和为S，且S=4S,a=2a+1.nn422nn(1)求数列a的通项公式；na+1设数列b的前n项和为T,且T+=A(A为常数)，令c=b(nGN*),求数列c的前nnnn2nn2nn项和R.n解（1）设等差数列a的首项为a,公差为d.n1由S=4S,a=2a+1,得422nn4a+6d=8a+4d,1，所以q=2.则a1=1.故数列a的通项为a=2n-1.nn由于b=n2n-i,n=1,2,，n则T=1+2X2+3X22+nX2n-i,n所以2T=2+2X22+(n1)X2n-1+nX2n,n两式相减得一T=1+2+22+23+2n-1nX2n=2nnX2n1,n即T=(n-1)2n+1.n5. 已知数列a的首项a=4,前n项和为S，且S3S2n4=0(nWN*).n1nn+1n(1) 求数列a的通项公式；n(2) 设函数f(x)=ax+aX2+aX3axn,f(x)是函数f(x)的导函数，令b=f(l),求数nn1n21n列b的通项公式，并研究其单调性.n解(1)由S3S2n4=0(nGN*),得S3S2n+24=0(n2),n+1nnn1两式相减得a3a2=0,可得a+1=3(a+1)(n三2),n+1nn+1n又由已知得a=14，所以a+1=3(a+1)，即a+1是一个首项为5,公比q=3的等比数列，所221n以a=5X3n-11(nGN*)n(2)因为f(x)=a+2ax+naxn-1，所以f(l)=a+2a+na=(5X3n-11)+nn11nn11/、nn+r2(5X3n-21)+n(5X3。一1)=5(3n-i+2X3n-2+3X3n-3+nX3o)i,令S=3n-l+2X3n-2+3X3n-3+nX3o,则3S=3n+2X3n-i+3X3n-2+nX3i,n作差得s=233n+l4，所以f(l)=5X3n+1154nn+“5X3n+i154nn+“2gm2+110,n12.14.5X3n+215n+n+15X3n7而5十2十了，所以b+b=七仝n20,所以b是单调递增数n142n1n22n列.求数列|a|的前n项和问题n1、在公差为d的等差数列a中，已知a=10，且a2a+2,5a成等比数列.n11,23（1）求d，a；n若d1.考点：公式法1. 在等比数列a中，若a=2,a=4,则公比q=；|a|+|a|a|=.n12412n解析设等比数列a的公比为q,则a=aq3，代入数据解得q3=8,所以q=2；等比数列|a|n41n的公比为|q|=2,则|a|=yX2n-i，所以|a|+|a|+|a|a|=(1+2+222n-1)=(2n1)=2n-i占.n2123n222答案22n-112. 在数列a中，a=1,a=(1)n(a+1)，记S为a的前n项和，则S=.n1n+1nnn2013解析由a=1,a+=(1)n(a+1)可得a=1,a=2,a=1,a=0,该数列是周期为4的数1 n+1n1234列，所以S=503(a+a+a+a)+a=503X(2)+1=1005.2 01312342013答案10053. 等比数列a的前n项和S=2n1,则a+a2.nn12n解析当n=1时，a1=S1=1，当n三2时，a=SS=2n1(2n11)=2n1,nnn1又.a=1适合上式.a=2n-1,.a2=4n-1.1nn数列&是以32=1为首项，以4为公比的等比数列.n14n1：a2+a2a2=-(4口一1).12n143答案j(4n1)4. 已知函数f(n)=n2cosnn，且a=f(n)+f(n+l)，则a+a+a-|a=().n123100A.100B.0C.100D.10200解析若n为偶数，则a=f(n)+f(n+l)=n2(n+l)2=(2n+l),为首项为a=5,公差为一n24的等差数列；若n为奇数，则a=f(n)f(n1)=n2+(n1)2=2n1,为首项为a=3，公差n1为4的等差数列.所以aaaa=(aaa)(aaa)12310013992410050X3+50X492X4+50X(5)+50X49_2X(4)=100.答案A4x1设f（x）=4X-2，利用倒序相加法,倒序相加法可求得ff詁-f+）的值为241+勺+2x(4+4*2)解析当X!X2=1时，f(X1)5=丁-，_,上-4设s=fH+f扁+晋，倒序相加有2s=fH+f（划f（划+f間fj=10，即S=5.答案5构造法1.设数列a的前n项和为S，满足2S=a2n+i1,nN*，且a，a5，a成等差数列.nnnn1123(1) 求a勺值；(2) 求数列a的通项公式.n解(1)在2S=a2n11中nn1令n=1得，2S=a221，令n=2得，2S=a231，23解得，a=2a3，a=6a13.2131又2(a5)=aa，即2(2a8)=a6a13，213111解得a1=1.由2S=a2n11,2S=a2n21，得a=3a2n1.nn1n1n2n2n1乂a=1，a=5也满足a=3a21，：a=3a2n对nGN*成立，1221n1n:a+2n+i=3(a+2n),n1n数列a+2n以3为首项，公比为3的等比数列.na+2n=(a+2i)3n-i=3n,n1:a=3n一2n.n考点：1.已知在等比数列a中，a=1,且a是a和a-1的等差中项.n1213(1) 求数列a的通项公式；n(2) 若数列b满足b+2b+3b+nb=a(nGN*)，求b的通项公式b.n123nnnn解(1)由题意，得2a=a+a一1，即2aq=a+aq2一1，整理得2q=q2.又qMO,解得q=2,.：a=2n-1.n(2)当n=1时，b=a=1；2n-2当n2时，nb=aa=2n-2，即b=nnn1nn1，n=1，bv2n2n，n22.In4.设a是公比大于1的等比数列，S为数列a的前n项和.已知S=7,nnn3