数学第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质

第六章圆第一节圆的有关概念及性质知识点一知识点一 圆的有关概念圆的有关概念1 1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中，定点称为叫做圆其中，定点称为 _，定长称为，定长称为_圆心圆心 半径半径 2 2与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弧：圆上任意弧：圆上任意 _的部分叫做圆弧，简称弧的部分叫做圆弧，简称弧(2)(2)弦：连接圆上任意两点的弦：连接圆上任意两点的_叫做弦叫做弦(3)(3)直径：经过直径：经过_的弦叫做直径的弦叫做直径(4)(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，等圆：能够重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧能够互相重合的弧叫做等弧两点间两点间 线段线段 圆心圆心 等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧等弧只存在同圆或等圆中，大小不等圆中不存在等弧(5)(5)圆心角：顶点在圆心角：顶点在_的角叫做圆心角的角叫做圆心角(6)(6)圆周角：顶点在圆周角：顶点在_，两边分别与圆还有另一个，两边分别与圆还有另一个交点像这样的角，叫做圆周角交点像这样的角，叫做圆周角 圆心圆心 圆上圆上 知识点二知识点二 圆的有关性质圆的有关性质1 1圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _的直的直线，有线，有_条对称轴条对称轴(2)(2)圆是中心对称图形，对称中心为圆是中心对称图形，对称中心为_过直径过直径 无数无数 圆心圆心 根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合2 2圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系(1)(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦所对的弦_(2)(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_ 相等相等 相等相等 相等相等 3 3垂径定理及其推论垂径定理及其推论(1)(1)垂径定理：垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且这条弦，并且_ _ 弦所对的弧弦所对的弧(2)(2)推论：平分弦推论：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的弧；弦所对的弧；弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对的两条弧；，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_另另一条弧一条弧 平分平分 平分平分 垂直垂直 平分平分 圆心圆心 平分平分 垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧如果已知五个结论中的两个弧；平分弦所对的劣弧如果已知五个结论中的两个结论，那么可以推出另外三个结论结论，那么可以推出另外三个结论4 4圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论(1)(1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的_(2)(2)推论：同弧或等弧所对的圆周角推论：同弧或等弧所对的圆周角_；半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是_；9090的圆周角的圆周角所对的弦是所对的弦是_；圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_ 一半一半 相等相等 直角直角 直径直径 互补互补 知识点三知识点三 确定圆的条件确定圆的条件1 1不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆2 2三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形三边接圆外接圆的圆心是三角形三边_的交点，的交点，叫做三角形的外心叫做三角形的外心 垂直平分线垂直平分线 考点一考点一 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2016(2016兰州兰州) )如图，在如图，在O O中，若点中，若点C C是是 的中点，的中点，A A5050，则，则BOCBOC( () )A A4040 B B4545C C5050 D D6060AB【分析分析】 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出出AOBAOB的度数，再根据两条弧相等则所对的圆心角相等的度数，再根据两条弧相等则所对的圆心角相等求解求解【自主解答自主解答】 A A5050，OAOAOBOB，OBAOBAOABOAB5050，AOBAOB180180505050508080. .点点C C是是 的中点，的中点，BOCBOCAOCAOC AOBAOB4040. .故选故选A.A.AB12在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等1 1如图，如图，P P是是O O外一点，外一点，PAPA，PBPB分别交分别交O O于于C C，D D两点两点已知已知 ， 的度数别为的度数别为8888，3232，则，则P P的度数为的度数为( )( )A A2626 B B2828 C C3030 D D3232ABCDB B2 2如图，已知如图，已知O O的半径等于的半径等于1 1 cmcm，ABAB是直径，是直径，C C，D D是是O O上的两点，且上的两点，且 ，则四边形，则四边形ABCDABCD的周长等于的周长等于( )( )A A4 4 cmcm B B5 5 cm cm C C6 6 cmcm D D7 7cmcmB B考点二考点二 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 (5(5年年5 5考考) )例例2 2(2017(2017济南济南) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ACDACD2525，求，求BADBAD的度数的度数【分析分析】 根据圆周角定理的推论求得根据圆周角定理的推论求得ABDABD的度数，的度数，然后利用三角形内角和定理求得然后利用三角形内角和定理求得BADBAD的度数的度数【自主解答自主解答】 ACD ACD2525，ABDABD2525. .ABAB是是O O的直径，的直径，ADBADB9090. .BADBAD180180ABDABDADBADB180180252590906565. .讲：讲： 与圆周角有关的多解问题与圆周角有关的多解问题 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，常常会因为漏解而导致错误题，常常会因为漏解而导致错误练：链接变式训练练：链接变式训练4 43 3(2017(2017天桥二模天桥二模) )如图，如图，O O是是ABCABC的外接圆，连接的外接圆，连接OBOB，OC.OC.若若OBOBBCBC，则，则BACBAC等于等于( )( )A A6060 B B4545 C C3030 D D2020C C4 4如图，如图，O O的半径为的半径为1 1，ABAB是是O O的一条弦，且的一条弦，且ABAB1 1，则弦则弦ABAB所对的圆周角的度数为所对的圆周角的度数为 _3030或或1501505 5(2015(2015济南济南) )如图，在圆内接四边形如图，在圆内接四边形ABCDABCD中，中，O O为圆为圆心，心，BODBOD160160，求，求BCDBCD的度数的度数解：解：BODBOD160160，BADBAD BODBOD8080. .四边形四边形ABCDABCD是圆内接四边形，是圆内接四边形，BCDBCDBADBAD180180，BCDBCD100100. .12考点三考点三 垂径定理垂径定理 (5(5年年2 2考考) )例例3 3(2013(2013济南济南) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C C是是O O上一点，上一点，ABAB1010，ACAC6 6，ODBCODBC，垂足是，垂足是D D，则，则BDBD的长为的长为( () )A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D6 6【分析分析】 由由ABAB是是O O的直径，得的直径，得C C9090. .由由ABAB1010，ACAC6 6，求得，求得BCBC的长，根据垂径定理即可求得的长，根据垂径定理即可求得BD.BD.【自主解答自主解答】 AB AB是是O O的直径，的直径，C C9090. .ABAB1010，ACAC6 6，BCBC 8 8，ODBCODBC，BDBD BCBC4.4.故选故选C.C.126 6(2017(2017长沙长沙) )如图，如图，ABAB为为O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E.E.已知已知CDCD6 6，EBEB1 1，则，则O O的半径为的半径为_ 5 5 7 7(2017(2017遵义遵义) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ABAB4 4，点，点M M是是OAOA的中点，过点的中点，过点M M的直线与的直线与O O交于交于C C，D D两点若两点若CMACMA4545，则弦则弦CDCD的长为的长为_14