格里菲斯理论

格里菲思(Griffith)理论以上各种理论都把材料看作连续的均匀介质，格里菲思理论则有所不同。格里菲思认为：材料内部存在着许多细微裂隙，在力的作用下，这些细微裂隙的周围，特别是缝端，可以产生应力集中现象。材料的破坏往往从缝端开始，裂缝扩展，最后导致材料的完全破坏。下面我们较详细地导出格里菲思破坏准则。设岩石中含有大量的方向杂乱的细微裂隙，其中有一系列如图4-22所示，它们的长轴方向与大主应力b成0角。按照格里菲思概念，假定这些裂隙是张开的，并且形状类似于1椭圆。研究证明，即使在压应力情况下，只要裂隙的方位合适，则裂隙的边壁上也出现很高的拉应力。一旦这种拉应力超过材料的局部抗拉强度，在这张开裂隙的边壁上开始破裂。图4-22细微裂隙受力示意图图4-23椭圆裂隙周围材料上的应力为了确定张开的椭圆裂隙边壁周围的应力，作了如下简化假定：1) 这椭圆可以作为半无限弹性介质中的单个孔洞处理，即：假定相邻的裂隙之间不相互影响，并忽略材料特性的局部变化；椭圆及作用于其周围材料上的应力系统可作为二维问题处理，即把裂缝的三维空间形状和裂缝平面内的应力b的影响忽略不计。z这些假定所引起的误差将小于10%。在分析中，按岩石力学中的习惯规定，应力以压为正，以拉为负，以及bbb。123取X轴沿着裂隙的方向(椭圆长轴方向)，y轴正交于裂隙面方向(椭圆短轴方向)。椭圆裂隙的参数方程式如下(见图4-23)：x=acosa；y=bsina(4-45)式中，a和b椭圆的长半轴和短半轴(mm)；a对x轴的偏心角()。椭圆的轴比用下式表示：bm二一a椭圆裂隙周壁上偏心角为a的任意点的切向应力a可用弹性力学中的英格里斯(Inglis)b公式表示：+2)cos2a寫+2m)sin2a-m2cos2aLtxxy+m)2sinacosam2cos2a+sin2a(4-46)因为在岩石内的裂隙很狭，即轴比m很小，形状扁平，所以最大的拉应力显然发生在靠近椭圆裂隙的端点处，也就是说，发生在a角很小的地方。考虑到当。aT0时，sinata以及cosat1，我们可以将式(4-46)写成：2(am+ta)yxym2+a2(4-47)其中高次项已略去。显然，切向应力G是偏心角a的函数，周边上不同位置处(用a表示)有着不同的Gbb周边开裂必发生在g为最大的位置。为了求得最大的g以及对应的位置，将上式对a角bb求导，并令其导数等于零，即dGdb=dadaym+tayxym2+a2(4-48)从而求得G仓的最大值及其对应的偏心角a为:Gb,maxTa=-yGb考虑到a和T与大主应力G、小主应力G，有下列关系式:yxy13+G13213-g)sin2P13Txy二1G2一1G2(4-49)(4-50)(4-51)(4-52)式(4-49)可以表示为：mG+Gb,max213)cos2P土31C2+G2213213(4-53)上式表明，在给定的G1与G作用下，m为定值时，裂隙周边壁上的最大切向应力G3b,max仅与所研究裂隙的方位角卩(裂隙与大主应力b之间的夹角)有关，我们知道，岩石中的细微裂隙是杂乱的，任何一个方位都是存在的。不同方位的裂隙就有不同的最大切向应力b。在这许多方位的许多裂隙中间，必然存在着最大切向应力b为最大的裂隙，该b,maxb,max裂隙的方位角卩以及最大切向应力的极值b，可用求导法则求取。为此将式(4-53)对0b,max求导，并令其导数等于零：dbmb.maxd0(b-b丿sin20x1+b+b13=01321C2+b2)一1G2-b2)cos20丄2213213(4-54)根据上式可知，有两种情况，一种情况是：sin20=0(4-55)第二种情况是：1+b+b13=0(4-56)21 C2+b2丿一1C2-b2丿DOS202 1321312或上式化简为：b-bcos20=盘E13(4-57)裂隙方向符合式(4-55)及式(4-57)时，该裂隙的最大切向应力达极值。将式(4-55)及式(4-57)分别代人式(4-63)即可求得极值b。b,m.m=1，将它代人式(4-53)，即可求得当sin20=0时，0=00或90，即cos20mb的四个可能极值：b,max(4-58)(4-59)mb=2b；0；2b；0b,m.m31当把式(4-57)代人将它代人式(4-53)，即可求得mb的两个可能极值b,max&mb=i_f31乍4b,m-m4vb+b丿13mbb,m.m-b人(4-60)上面表明mo共有六个极值，其中最大拉应力达到该处的抗拉强度时岩石就破坏,b,m.m开裂就从该处开始。前面四个可能极值发生在方位与o平行和正交的裂隙中，后面两个可1能极值则发生在方位与o斜交的裂隙中。如果发生在与o斜交的裂隙中，则它只有在11|cos201时才存在，这就要求：oo131或者o1+3o3(4-61)考察式(4-60)为最大拉应力：mob,m.mo213(4-62)如果不等式61)不被满足，即o1+3o30时,(oo)28R(o+o)=0,1313t13裂隙方位角B=2arecos13(4-64)当o+3o0时，o二R，133t裂隙方位角0(4-65)T2二4R(xytR+o)(4-66)ty这个准则也可用应力工和o来表示，为此将mo=2R代入方程式的左端，得到:xyyb,m.mt式(4-66)是T-xyo平面内的一个抛物线方程式，见图4-24(a)。它表明一个张开椭y圆细微裂隙边壁上破坏开始时的剪应力e和正应力b的关系。由图看出，这条曲线的形状xyy与莫尔包络线相似。该线在负象限内明显弯曲。它表明其抗拉强度要比由莫尔库伦直线包络线推断出来的合理得多。它与实际测定的抗拉强度R是一致的。t图4-24格利菲思破坏准则在平面内的图形(a)在TO平面内；(b)在OO3平面内格里菲思准则在b-b平面内的图形如图4-24(b)所示。它由直线段部分及与之相切13的抛物线部分组成。从图中可知，当b=0时，即当单向加压时，b=8R，即单轴抗压31t强度R=8R这个由理论上求得的结果与实验测定的结果是吻合的。ct修正的格里菲思理论前面讨论的格里菲思理论是以张开椭圆裂隙为前提的。如果在压应力占优势的情况下，则在受压过程中材料的裂隙往往会发生闭合。这样，压应力就可以从一边的缝壁传递到另一边的缝壁，从而缝壁间产生摩擦。在这种情况下，裂隙的增长和发展就与张开裂隙的情况有所不同。麦克林托克(MeClintock)等考虑了这一影响(主要是裂隙间的摩擦条件)，对格里菲思理论作了修正，修正后的理论通常称为修正格里菲思理论。这个理论的强度条件可以写成如下：式中b2+1-f-bb二4R1+ctRt2-2fb(4-67)隙闭合所需的压应力，由实验决定。勃雷斯(Brace)认为使裂隙闭合所需的压应力b甚小，一般可以忽略不计。因此，上式简化为：f2+12-f-b(4-68)当by0时(拉应力)，裂隙不会闭合，以上两公式均不适用，这时仍采用式4-64)和式(4-65)。