三角函数大题专项

三角函数专项训练1. 在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)证明a2+b2-c2=ab；(2)求角C和边c.2. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-).6(I)求角B的大小；(II)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.3.4已知a,B为锐角，tana=,cos(a+B)=3(1)求cos2a的值;(2)求tan(a-B)的值.4.在平面四边形ABCD中，ZADC=90,ZA=45,AB=2,BD=5.(1) 求cosZADB；(2) 若DC=2-2,求BC.5. 已知函数f(x)=sin2x+一Ssinxcosx.(I) 求f(x)的最小正周期；(II) 若f(x)在区间-書-,加上的最大值为，求m的最小值.6. 在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=一号(a2-b2-c2)(I) 求cosA的值；(II) 求sin(2B-A)的值7. 设函数f(x)=sin(3x-)+sin(3x-),其中0VV3,已知f()=0.6(I) 求3;(II) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移-宁个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在-,上的最小值.8. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sinB=2(1) 求b和sin的值；(II)求sin(2A+)的值.429.5ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为仝3sinA(1)求sinBsinC；(2) 若6cosBcosC=l,a=3,求ABC的周长.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin-.2(l)求cosB；(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.11. 已知函数f(x)=.3cos(2x-)-2sinxcosx.(/)求f(x)的最小正周期；()求证：当xG-普时，f(x)三-.12. 已知向量3=(cosx,sinx),=(3,-),xG0,n.(1) 若且专b,求x的值；(2) 记f(x)=3,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.313. 在ABC中，ZA=60,c=a.7(1)求sinC的值；(2)若a=7,求厶ABC的面积.14. 已知函数f(x)=2sin3xcos3x+cos2ax(30)的最小正周期为n.(1) 求3的值；(2) 求f(x)的单调递增区间.15. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明：A=2B；(2)若cosB=：r，求cosC的值.16. 设f(x)=2.3sin(n-x)sinx-(sinx-cosx)2.(I) 求/&)的单调递增区间；(II) 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平桜宁个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g()的值.17. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=.SbsinA.(1) 求B；(2) 已知cosA=，求sinC的值.18. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(I)证明：A=2B；2(II)若AABC的面积S=fp，求角A的大小.19. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且進鼻+a(I) 证明:sinAsinB=sinC；(II) 若b2+c2-a2=-be,求tanB.520.在ABC中，AC=6,cosB=-W,C=5(1)求AB的长;(2)求cos(A)的值.621.兀已知函数f(x)=4tanxsin(-x)cos(x-(1) 求f(x)的定义域与最小正周期；(2) 讨论f(x)在区间-牛，上的单调性.22.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,e,已知2cosC(acosB+bcosA)=e.(I) 求C；(II) 若e=疋，“ABC的面积为，求ABC的周长.4参考答案1.在ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)证明a2+b2-c2=ab；2)求角C和边c.=2R=2,【解答】证明：(1)T在AABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,由正弦定理得：sinAsinBsinC656#sinA=，sinB=,sinC=,6#T2(sin2/-sin2C)=(a-b)sinB，6#6#_2_22()=(a-b)6#6#化简，得：a2+b2-c2=ab,故a2+b2-c2=ab.解：(2)Va2+b2-c2=ab,2，i22.c+b-ccosC2ab解得c=今,.c=2sinC=2-22.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c-已知bsinA=aCOs(B-知c.(I)求角B的大小;(II)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【解答】解:(I)在ABC中，由正弦定理得S1M211it：-,得bsinA=asinB,7T又bsinA=acos(B).6TT.asinB=acos(B),即sinB=cos(B-)=cosBcos+sinBsin=cosB+.tanB=.3,6#又Be(0,n),/.B=-3(II)在ABC中，a=2,c=3,B=J由余弦定理得b=+c-2accosB=,由bsinA=acos(B-),得sinA=,.2 ac,.cosAV743 sin2A=2sinAcosA=-,cos2A=2cos2A-1=74俯11V3sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43.已知a,B为锐角，tana=：cos（a+B）=(1)求cos2a的值;(2)求tan(a-B)的值.【解答】解：（1）由削应_4cosCL3sin2a+cos2a=r解得La为锐角cos2a=cos2口-說J二倉；(2)由（1）得,sin2a二2d口ACga=|,贝ytan2a=Be(0,夕)，a+Be(0,n),sin(a+B)则tan(a+B)=Uls/(a+P=sin(a+)costan(a-B)=tan2a-(a+B)=PP1+t且也Cltan(d+)4.在平面四边形ABCD中，ZADC=90,ZA=45,AB=2,BD=5.(1)求cosZADB；(2)若DC=2.2,求BC.【解答】解：（1）TZADC=90,ZA=45,AB=2,BD=5.，即由正弦定理得：6.sinZADB=Sin(II)若/(x)在区间i,加上的最大值为，求m的最小值.【解答】解：(/)函数/(x)=sin2x+一3sinxcosx=+sin2x=sin(2x-亍)+，/(x)的最小正周期为T=n；2(II)若/(x)在区间牛，m上的最大值为，7T可得2x-，2m-，6即有2m三，解得m2，o则m的最小值为6. 在AABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA=4bsinB，ac=号(a2-b2-c2)(I) 求cosA的值；(II) 求sin(2B-A)的值【解答】（I）解：由，得asinB=bsinA,sinAsinb又asinA=4bsinB,得4bsinB=asinA,两式作比得:話寻a=2b.由ac=,5Ca2_b2-c2)，得由余弦定理，得a白2bcac5（II）解：由（I）,可得sinA二2J，代入asinA=4bsinB，得由（I）知，A为钝角，则B为锐角,In2VS如4于是皿5故sint2B-A)=sin2BcosA-cos2Bsi=0.再将得7. 设函数f(x)=sin(ax-)+sin(ax-)，其中0Vab,a=5,c=6,sinB=2y.(I) 求b和sinA的值；(II) 求sin(2A+)的值.【解答】解：(I)在ABC中，:ab,3故由sinB=n，可得cosB=.5p7174由已知及余弦定理，有=13,.b=.13.由正弦定理，得sinA=.sinAsinhb=.sinA=；(11)由(I)及a(2)由(1)可知sinB=Sabc=acsinB2?.Ab2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2X2=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,.b=2.11.已知函数f(x)=.3cos(2x-)-2sinxcosx.(/)求f(x)的最小正周期；()求证：当xE,时，f(x)三-.【解答】解：(I)f(x)=.ocos(2x-)-2sinxcosx,=.3(co2x+sin2x)-sin2x,cos2x+sin2x,/兀、=sin(2x=n,.T=-=n,212./(x)的最小正周期为n,(n)vxe-4，7T2x+G-,3Wsin(2x+2,W1,12.已知向量a=(cosx,sinx),=(3,),xG0,n.13#(1)若，求x的值;(2)记f(x)=方,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.=(3,【解答】解：(1).方=(cosx,sinx),.3cosx=3sinx,当cosx=0时，sinx=1,不合题意,当cosxMO时,tanx=#*.*xG0,n,.=匹,x=,bb-(2)f(x)=3=3cosx-sinx=2(cosx-sinx)=2cos(x+),当x=时，f(x)有最小值，最小值-213.在ABC中,ZA=60,c=a.(1)求sinC的值；(2)若a=7,求厶ABC的面积.【解答】解：(1)ZA=60,c=a,3由正弦定理可得sinC=sin=X=(2)a=7，贝9c=3.:.C0)的最小正周期为n.(1)求3的值；(2)求/&)的单调递增区间.【解答】解：f(x)=2sin3xcos3x+cos23x.=sin23x+cos23x，=辽“口(2備，由于函数的最小正周期为n则：宀,：.0A-Bn,:.B=A-B,或B=n-CA-B),化为A=2B,或A=n(舍去).A=2B.2()解:cosB=,.sinB=cosA=cos2B=2cosTcosA=寺，.sinA=B-1=,sinA=92 i.cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=+3 916.设f(x)=2.3sin(n-x)sinx-(sinx-cosx)2.(I) 求f(x)的单调递增区间；(II) 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g()的值.【解答】解：(I)Tf(x)=2.3sin(n-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-1+sin2x=2-1+sin2x=sin2x-一3cos2x+-1=2sin(2x-)+-1,兀、令2kn-W2x-W2kn+，求得kn-WxWkn+,可得函数的增区间为加-令，kn+,kGZ.(II)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=兀2sin(x)+-1的图象；3再把得到的图象向左平个单位，得到函数y=g(x)=2sinx+-1的图象，/兀、.g()=2sin+-1=.17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知asin2B=.SbsinA.1)求B；(2)已知cosA=，求sinC的值.【解答】解：(1).asin2B=.3bsinA,.2sinAsinBcosB=一SsinBsinA,一阿一cosB,B.2.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=322318. 在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(I) 证明：A=2B；2(II) 若AABC的面积S=，求角A的大小.4【解答】(I)证明:Vb+c=2acosB,.sinB+sinC=2sinAcosB,.sinB+sin(A+B)=2sinAcosB.sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosBsinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)VA,B是三角形中的角，.B=A-B,.A=2B；2(II)解:ABC的面积S=4bcsinA=2.2bcsinA=a2,.2sinBsinC=sinA=sin2B,.sinC=cosB,.B+C=90。，或C=B+90,.A=90或A=45.19. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,(I)证明：sinAsinB=sinC；(II)若b2+c2-a2=be,求tanB.5【解答】（I）证明：在厶ABC中，.竺且由正弦定理得：sniAsin：-ginu.cosAsinB+cosBsinAsinAsinB*.*sin(4+B)=sinC.化整理可得：siiL4sinB=sinC,(II)解：b2+c2-a2=-rbe,由余弦定理可得cos/=5sirU=刍，=5cosA,1+=1,=,sinAtanB=4.420.在/ABC中，/C=6,cos=石，C=.5(1)求肋的长;(2)求cos(力-二一)的值.64【解答】解：(1)*.AABC中，cosE=m，BE(0,tt),518#sinB=#.AB二_AC*sinCsinB*.AB=$=5(2)cos/-cos(tt-/)=-cos(C+E)=sinSsinC-cos5cosC=/为三角形的内角,sihl4_、1U/兀、.*.cosCA-=cos/+sirU=,兀21.已知函数f(x)=4taiusin-x)cos(x-)(1) 求/&)的定义域与最小正周期；(2) 讨论f(x)在区间,上的单调性.【解答】解：(1)T/(x)=4tanxsin-x)cos(x-)-.xNAtt+兀,即函数的定义域为x|xNAtt+贝ij/(%)=4tanxcosx(寺cosx+sinx)=4sinx(寺cosx+sinx)=2sinxcosA：+2V3sin2-=sin2x+V(1-cos2x)=sin2x-V3cos2j/开、=2sin（2x-则函数的周期厂=它一二兀；r7T（2）由2加2x-2kn+,kEZ,kn+),kwZ,得加一需xv加+，足乙即函数的增区间为（加-当乞=0时，增区间为（-牛,L4),kWZ,兀,此时XG(-,由2V2x-2Att+,kEZ,底乙即函数的减区间为（加+,kn+),底乙当k=-1时，减区间为（-鸟,),kEZ,.氏-晋，,此时xE-,),函数的减区间为G-,),增区间为（-,.22.AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.19#(I)求C；#(II)若c=l斤，“ABC的面积为，求ABC的周长.【解答】解：(I)T在AABC中，OVCVn,sinCMO已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得：2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(n-(A+B)=sinC2cosCsinC=sinC.cosC=-,C=(II)由余弦定理得7=a2+b2-2ab-g,(a+b)2-3ab=7，TS=-gabsinC=ab=, ab=6，(a+b)2-18=7, a+b=5,:.ABC的周长为5+l.20