2019-2020年高一数学圆的一般方程 新课标 人教版2

2019-2020年高一数学圆的一般方程新课标人教版2学习目标主要概念：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0()。轨迹方程-是指点动点M的坐标满足的关系式。教材分析一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。解读第一板块问题提出方程表示什么图形？方程x2+y22x4y+60表示什么图形？第二板块探索研究方程x2+y2+Dx+Ey+F0在什么条件下表示圆？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为，由于不存在点的坐标满足这个方程，所以它不表示任何图形。配方得(x+D)2+(y+|)2解读(1) 当时，方程表示以为圆心，为半径的圆(2) 当时，方程表示一个点(3) 当时，方程不表示任何图形。关于的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0成为圆方程的充要条件是(1)和的系数相同且不等于0，即A=C0；(2)没有这样的二次项，即B=0；(3)。对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。第三板块思考交流解读1、圆的标准方程和圆的一般方1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几程各有什么特点？何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊2、课本P.129例4解完后，问：的二元二次方程，代数特征明显。圆的一般方程与圆与例2的方法比较，你有什么体的标准方程可以相互转化。会？2、让学生通过对同一个类似问题的两种解法的比较，一方面加深对解题方法的理解；另一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯拓展阅读设圆0的圆心在原点，半径是，圆0与轴的正半轴的交点是(如图)。设点在圆0上从开始按逆时针方向运动到达点P,。我们看到，点P的位置与旋转角有密切的关系。当确定时，点P在圆0上的位置也随着确定；当变化时，点P在圆0上的位置也随着变化。如果点P的坐标是，根据三角函数的定义，点P的横坐标、纵坐标都是的函数，即，并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点P都在圆0上。我们把方程组叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数。圆心为、半径为的圆可以看成由圆心为原点0、半径为的圆按向量平移得到的。容易求得此圆的参数方程为，(为参数)相对于圆的参数方程来说，前面学过的直接给出圆上点的坐标关系的方程，叫做圆的普通方程。在圆的有些问题中，借助于圆的参数方程，能够使问题变得容易解决。例如：已知实数满足等式，求的最值。解：设x=4+3cos0,y=一3+3sin0，贝y=x=4+3cos0-3+3sin0=1+3*2sin(0+=)4；的最大值为，最小值为。网站点击gag中国教育信息平台腋芬唁息时代毅育行业冑耆9www.gaokaol6Bnet典型例题解析例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。点拨由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k的不等式。解答方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，(2k)2+42-4(3k+8)0,解得当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。总结在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，系数D、E、F必须满足。变式题演练若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是c答案：3例2：求经过三点A(1,1)、B(1,4)、C(4，-2)的圆的方程。点拨利用圆的一般方程，寻找关于D、E、F的方程组。解答设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，A(1,1)、B(1,4)、C(4，2)三点在圆上，代入圆的方程并化简，得D-E+F=-20(k21)22k2ak2a2所求曲线的方程是x2+y2-Cx+戸=0，它表示一个圆。总结|1、由本例可知，圆除了看作是平面内动点到定点的距离等于定长的点的轨迹外，还可以看作是动点到两个定点的距离的比为常数(常数不为1)的动点的轨迹。2、“轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小(范围）等特性；后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。3、在探求点的轨迹时，可先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再从本质上分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，制订合理的解题策略。变式题演练过圆外一点Q向圆O作割线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹。答案：设M（x,y）,连0M,则0MAB,点M的轨迹为以OQ为直径的圆，.弦AB中点M的轨迹方程是=0，即（），弦AB中点M的轨迹是圆弧（）。知识结构矢口识点图表圆的一般方程二元二次方程成为圆方程的条件圆的标准方程和一般方程的特点学法指导I1、用待定系数法求圆方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于或D、E、F的方程组；（3）解出或D、E、F,代入标准方程或一般方程。2、“曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映。在解析几何的问题中，求动点的轨迹方程是一种常见题型。求动点的轨迹方程的常用方法有：（1）直接法：应用解析几何中公式，根据已知条件直接列出动点M的两个坐标之间的等量关系，从而求得动点的轨迹方程（如例3）。（2）代入法：已知点P在已知曲线上运动，动点M随着点P的变化而变化，而点P的坐标又可设法用动点M的坐标表示，那么为了要得到动点M的轨迹方程，只需把用M的坐标所表示的P点的坐标代入已知的曲线方程中，即可求出动点M的轨迹方程（如课本P.129例5）。（3）定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹所表示的曲线的类型，再利用已知曲线的方程求出所求动点的轨迹方程。如变式题演练3,因M为圆O的弦AB的中点，故OMAB，因此点M的轨迹是以OQ为直径的圆。（4）参数法：当动点M的两个坐标之间的等量关系不易直接得到时，可先引进一个中间变量（参数）分别表示动点M的横坐标、纵坐标，间接地把动点M的两个坐标联系起来，然后消去参数，求得动点M的轨迹方程。例如：过定点P引动直线分别交于A、B两点，求线段AB中点M的轨迹方程。此题中的动点M是随着的变化而变化，而又过定点P,故的变化实质是由斜率的变化而引起的，所以可引进斜率作为参数，用表示出A、B的坐标，由此用表示出M的坐标,消去参数即可得动点M的轨迹方程。答案:。求动点的轨迹方程时，要做到满足曲线方程的两个要求，防止遗留和多余。2019-2020年高一数学圆的一般方程二新课标人教三维目标：知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。（3）:培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用教具：多媒体、实物投影仪教学过程：课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：（xa）2+（yb）2=r，圆心（a,b）,半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2y22ax2bya2b2r2=0.取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2一r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?把x2y2DxEyF=0配方得D、E、D2+E24F（X+y）2+（y+y）2=4（配方过程由学生去完成）这个方程是不是表示圆?（1）当D2+E24F0时，方程表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F二0表示的曲线不一定是圆只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F二0的表示圆的方程称为圆的一般方程我们来看圆的一般方程的特点：（启发学生归纳）（1）X2和y的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。（1）4x2+4y2一4x+12y+9=0（2）4x2+4y2一4x+12y+11=0学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于（1）4x2+4y2-4x+12y+9=0来说，这里的9D=-1,E=3,F=-而不是D=-4,E=12,F=9.4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，F=0即D+E+F+2=04D+2E+F+20=0解此方程组，可得：所求圆的方程为：r=丄审D2+E2-4F=5；2得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为（4,-3）学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：根据提议，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是（x,y）.由于点B的坐标是（4,3）且M是线段AB的重点，所以00x+4y+3x-0,y0,22于是有x=2x一4,y=2y一300上运动，所以点A的坐标满足方程,即把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理，得X2丿+y-_V2丿所以，点M的轨迹是以品为圆心半径长为1的圆课堂练习：课堂练习第1、2、3题小结：1.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论（什么时候可以表示圆）2与标准方程的互化3. 用待定系数法求圆的方程4. 求与圆有关的点的轨迹。课后作业：习题4.1第2、3、6题