D对坐标曲线积分学习教案

会计学1D对坐标曲线积分对坐标曲线积分(jfn)第一页，共37页。定向曲线定向曲线(qxin)的表示的表示注：非定向曲线参数(cnsh)表示为这里(zhl)一定有而定向曲线表示当从连续变到时，描出由点A移动到点B的定向曲线L显然都可能第1页/共37页第二页，共37页。定向定向(dn xin)曲线的切向量曲线的切向量光滑曲线上每一点都有切向量(xingling)，而且都有两个方向，对定向(dn xin)曲线的切向量也要定向(dn xin)，要求切向量的的方向总与曲线的走向（曲线的方向）相一致若曲线为( ):( ):( )xx tLAByy ttzz t当则切向量为当则切向量为第2页/共37页第三页，共37页。（二）对坐标的曲线积分（二）对坐标的曲线积分(jfn)的概念的概念设一质点(zhdin)受如下变力作用在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线(qxin)弧 L 移动ABLxy常力沿直线所作的功到点 B,求移动过程中变力所作的功W.ABF ABF机动 目录 上页 下页 返回 结束 1引例引例: 变力沿曲线所作的功.第3页/共37页第四页，共37页。ABxy(2) “常代变常代变”把L分成(fn chn) n 个小弧段,有向小弧段kkMM1近似(jn s)代替, 则有所做的功为F 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkF则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共37页第五页，共37页。(4) “取极限取极限(jxin)”1kMkMABxyL),(kkFkykx其中(qzhng) 为 n 个小弧段的最大长度机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共37页第六页，共37页。设 L 为XOY平面内从 A 到B 的一条(y tio)有向曲线,在L 上定义了一个向量(xingling)函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在L 上沿的L 方向任意插入一点列把L 分成n个有向小弧段记kykx点为有向弧段(,)kk上任意一点,若极限第6页/共37页第七页，共37页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 记作存在(cnzi),在有向曲线弧 L 上对坐标(zubio)的曲线积分,则称此极限为向量函数( , )F x y或第二类曲线积分第二类曲线积分.A1kMBkMkykx(,)kk其中L 称为积分弧段积分弧段称为被积函数被积函数 , 或积分曲线积分曲线 .称为对对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对对 y 的曲线积分的曲线积分.第7页/共37页第八页，共37页。(2)LyyxQxyxPd),(d),(1)由定义(dngy)知LyyxQxyxPd),(d),(物理(wl)意义：沿定向(dn xin)曲线L的始点移动到终点所做的功为方向为x-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功力注注:物理意义：为方向为y-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功物理意义：ABxyL( , )P x y( , )Q x y故由第二类曲线积分的物理意义也得LyyxQxyxPd),(d),( , )d( , )dLLP x yxQ x yy第8页/共37页第九页，共37页。(3)中kx是有向弧在x-轴上的投影(tuyng);ky是有向弧在y-轴上的投影(tuyng)而在对弧长的曲线(qxin)积分中乘的是弧长故(A)1kMkMABxyLkykx(图1),kkxy可正,可负(图2).1kMkMBAxyLkykx(图2)图3中0kxBxyL(图3)A(B)定积分是第二类曲线积分的特例. (C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !第9页/共37页第十页，共37页。若 为空间(kngjin)有向曲线弧 , 2*. 定义定义(dngy)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 向量函数定义在有向曲线弧上. 若极限存在.在有向曲线弧 上对则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.坐标的曲线积分坐标的曲线积分,记作第10页/共37页第十一页，共37页。(2) 若 L 可分成 k 条有向光滑(gung hu)曲线弧LyyxQxyxPd ),(d ),(3) 用L 表示(biosh) L 的反向弧 , 则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)线性性质第11页/共37页第十二页，共37页。定理定理(dngl):在有向光滑(gung hu)弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),(连续,存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而不管上限是否大于下限这与对弧长的曲线积分不同第12页/共37页第十三页，共37页。对应(duyng)参数设分点根据(gnj)定义由于(yuy)niiiP10)(, )(lim)(tLxyxPd),(对应参数同理可证)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 下面先证LxyxPd),()(t第13页/共37页第十四页，共37页。如果(rgu) L 的方程为则LyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑(gung hu)曲线弧 :类似(li s)有)(t)(t定理 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共37页第十五页，共37页。其中(qzhng)L 为沿抛物线解解 法一法一 取取 x 为参数为参数(cnsh), 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd从点的一段. )1 , 1(B)1, 1( Aoyx第15页/共37页第十六页，共37页。,dLxyx其中(qzhng)L 为沿抛物线xy 2解解 法二法二 取取 y 为参数为参数(cnsh), 则则从点的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性对坐标的曲线积分没有对称性xy 2第16页/共37页第十七页，共37页。其中(qzhng) L 为yBAoaa x(1) 半径(bnjng)为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共37页第十八页，共37页。yxo其中(qzhng)L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线(zhxin) 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 11机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共37页第十九页，共37页。作用(zuyng), 解解:机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 设质点(zhdin)处受力F的大小与M点对原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由沿椭圆逆时针移动到求力做的功W由题意知则其中( , )M x y( , 0)A a( 0, )Bb第19页/共37页第二十页，共37页。ozyx其中(qzhng)从 z 轴正向(zhn xin)看为顺时针方向.解解: 取取 的参数的参数(cnsh)方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共37页第二十一页，共37页。作用(zuyng)下, 质点由沿移动(ydng)到解解: (1)(2) 的参数(cnsh)方程为BAzyx试求力场对质点所作的功.其中为),(zxyFsFWdsFWd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共37页第二十二页，共37页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 ABxydxdyds设有向光滑(gung hu)弧 L 以弧长为参数的参数方程为则有向有向光滑弧L切向量的方向余弦为由计算公式有第22页/共37页第二十三页，共37页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 其中(qzhng)是有向弧有向弧L在(1)若记则两类曲线两类曲线(qxin)积分的联系积分的联系切向量的方向余弦( , )x y注：注：是有向弧L在处单位切向量单位切向量.在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分故向量函数( , )F x y若记则有第23页/共37页第二十四页，共37页。例：设定向曲线例：设定向曲线 L 参数参数(cnsh)方程为方程为方向(fngxing)余弦为若切向量(xingling)为切向量为若，则(3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致方向一致，则，则其中(2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求定向定向曲线的切向量的方向余弦，这可以通过求切向量得到第24页/共37页第二十五页，共37页。令, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第25页/共37页第二十六页，共37页。二者夹角(ji jio)为 曲线段 L 的长度(chngd)为s, 证明续,证证:设说明说明: 上述证法上述证法(zhn f)可推广到三维的第二类曲线积分可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共37页第二十七页，共37页。例将积分例将积分(jfn)化为对弧长的积分,解：解：oyx其中(qzhng)L 沿上半圆周机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 法一法一：又所以切向量为，所以第27页/共37页第二十八页，共37页。解：解：oyxByyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 法二法二曲线(qxin)参数化为由得切向量(xingling)为故即故)1(x第28页/共37页第二十九页，共37页。1. 定义(dngy)LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(xngzh)(1) L可分成 k 条有向光滑(gung hu)曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共37页第三十页，共37页。LyyxQxyxPd),(d),()(t)(t 对有向光滑(gung hu)弧 对有向光滑(gung hu)弧)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共37页第三十一页，共37页。zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t4. 两类曲线(qxin)积分的联系机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共37页第三十二页，共37页。 F原点 O 的距离(jl)成正比,1. 设一个设一个(y )质点在质点在处受恒指向原点,沿椭圆(tuyun)此质点由点沿逆时针移动到),(yxMxyo提示提示:yykxxkWdd AB:AB(解见 P139 例5), ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共37页第三十三页，共37页。)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz为折线(zhxin) ABCOA(如图), 计算提示提示(tsh):yxABddzyyBCddOAxd机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第33页/共37页第三十四页，共37页。解解:zxoyAB线移动(ydng)到向坐标(zubio)原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共37页第三十五页，共37页。与曲面(qmin)从 ox 轴正向(zhn xin)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共37页第三十六页，共37页。(2) 原式 =令利用(lyng)“偶倍奇零”机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第36页/共37页第三十七页，共37页。