数学建模实验答案-概率模型

实验10 概率模型（2学时）（第9章 概率模型）1.（验证）报童的诀窍p302304, 323（习题2）关于每天报纸购进量的优化模型：已知b为每份报纸的购进价，a为零售价，c为退回价（abc），每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2,)。求每天购进量n份，使日平均收入，即达到最大。视r为连续变量，f(r)转化为概率密度函数p(r)，则所求n*满足已知b=0.75, a=1, c=0.6，r服从均值=500（份），均方差=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？提示：normpdf, normcdf(i) 计算正态变量的概率密度函数的调用形式为：Y=normpdf(X,mu,sigma)正态变量的概率密度函数为 其中：X是x的一组值，Y对应一组函数值。mu为，sigma为。当=0，=1时，为标准正态变量的概率密度函数。(ii) 计算正态变量的分布函数的调用形式为：P=normcdf(X,mu,sigma)正态变量的分布函数为 且 标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。要求：(1) 在同一图形窗口绘制和的图形，观察其交点。程序：n=500:530;mu=500;sigma=50;y1=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma);a=1; b=0.75; c=0.6;y2=(a-b)/(a-c)*ones(size(n);plot(n,y1;y2);grid on;提示，(1) 运行程序并给出结果：(2) 求方程的根n*（四舍五入取整），并求G(n*)。程序：function y=fun(n)mu=500;sigma=50;a=1; b=0.75; c=0.6;y=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma)-(a-b)/(a-c);clear; clc;n=fzero(fun,515);n=round(n)mu=500;sigma=50;a=1; b=0.75; c=0.6;r=n+1;while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)1e-6 r=r+1;endr=n+1:r;G=sum(a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma);r=0:n;G=G+sum(a-b)*r-(b-c)*(n-r).*normpdf(r,mu,sigma)(2) 运行程序并给出结果：2.（编程）轧钢中的浪费p307310设要轧制长l =2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。平均每得到一根成品材所需钢材的长度为其中，求m使J(m)达到最小。等价于求方程的根z*。其中：是标准正态变量的分布函数，即 是标准正态变量的概率密度函数，即 (1) 绘制J(m)的图形（l=2, =0.2），观察其最小值的位置。(1) 给出程序和运行结果：clc; clear;m=2:0.001:2.5;%根据l=2l=2; sigma=0.2;J=m./(1-normcdf(l,m,sigma);plot(m,J);grid on;(2) 求使J(m)达到最小值的m*。由(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。分别用求无约束最小值的MATLAB函数fminbnd, fminsearch, fminunc求解，并比较结果。(2) 给出程序与运行结果（比较310）：function y=Jfun(m)l=2; sigma=0.2;y=m/(1-normcdf(l,m,sigma);(3) 在同一图形窗口绘制和的图形，观察它们的交点。（参考题1的(1)）(3) 给出程序与运行结果（比较309图2）：z=-2:0.1:2;y1=(1-normcdf(z,0,1)./normpdf(z,0,1);l=2; sigma=0.2;y2=l/sigma-z;plot(z,y1;y2);grid on;(4) 求方程的根z*，并求m=l-z*。（参考题1的(2)）提示：由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。(4) 给出程序与运行结果（比较310）：function y=fun(z) %方程l=2;sigma=0.2;y=l/sigma-z-(1-normcdf(z,0,1)./normpdf(z,0,1);3.（验证）航空公司的预订票策略p313316模型如下：给定,n,p,b/g，求m使单位费用获得的平均利润J(m) 最大。约束条件为 其中：m预订票数量的限额。(1)利润调节因子。n飞机容量。p每位乘客不按时前来登机的概率，q=1p。b每位被挤掉者获得的赔偿金。g机票价格。b/g赔偿金占机票价格的比例。不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为被挤掉的乘客数超过j人的概率为（等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过mnj1人）该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。提示：binopdf, binocdf(i) 二项分布的概率密度函数：Y = binopdf(X,N,P)计算X中每个X(i)的概率密度函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y, N, 和 P 的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。N中的值为正整数，P中的值从0 ,1取。已知x和参数n, p，二项分布概率密度函数为q = 1 p。y为n次独立试验中成功x次的概率，其中，每次试验成功的概率为p。x=0, 1, ., n。(ii) 二项式累积分布函数：Y = binocdf(X,N,P)计算X中每个X(i)的二项式累积分布函数，其中，N中对应的N(i)为试验数，P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。Y, N, 和 P 的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。N中的值为正整数； X中的值从0 ,N取；P中的值从0 ,1取。已知x和参数n, p，累积分布函数为q = 1 p，x=0, 1, 2, , n。要求：(1)已知n=300，=0.6，p=0.05，b/g=0.2和0.4，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)，程序如下。（与教材p315表1 n=300时的计算结果比较。）%9.6 航空公司的预订票策略function main()clear; clc; format shortg;n=300; m=300:2:330; p=0.05; %修改的参数lambda=0.6;% 值b_g1=0.2; b_g2=0.4;J1=zeros(size(m);J2=zeros(size(m);for i=1:length(m) J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g1);J2(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g2);endP5=binocdf(m-n-5-1,m,p); %二项分布P10=binocdf(m-n-10-1,m,p);round(10000*m,J1,J2,P5,P10)/10000 %显示结果function y=J(m,n,lambda,p,b_g)%均是标量q=1-p; k=0:m-n-1;y=1/(lambda*n) *(q*m-(1+b_g)*sum(m-k-n).*binopdf(k,m,p)-1;(1) 运行程序并给出结果（比较315表1(n=300)）：(2) 对(1)中改变p=0.1和m=300:2:344，求对应的结果。(2) 运行程序并给出结果（比较315表1(n=300)）：(3) 对(1)中改变n=150和m=150:2:170，求对应结果。（与教材时的计算结果比较。）(3) 运行程序并给出结果（比较316表2(n=150)）：(4) 对(1)中改变n=150、m=150:2:176和p=0.1，求对应结果。注意！结果与教材相差较大，原因待查。(4) 运行程序并给出结果（比较316表2(n=150)）：4.（编程）航空公司的预订票策略（改进）p316317已知:第2类乘客（t人）都按时前来登机。第1类乘客（mt人）不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为被挤掉的第1类乘客数超过j人的概率为 （等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超过(mt)(nt)j1人）单位费用获得的平均利润为要求：已知n=300, =0.6, p=0.05, b/g=0.2,=0.75，t=100，取一组值m=300:2:330，求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)。参考实验10.3的程序，编写解决本问题的程序。运行结果参考示例： 给出编写的程序和运行结果：%9.6 航空公司的预订票策略（改进）function main()clear; clc; format shortg;n=300; m=(300:2:330); p=0.05; %修改的参数lambda=0.6; % 值b_g=0.2;t=100; beta=0.75;J1=zeros(size(m);for i=1:length(m)J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g,t,beta);endP5=binocdf(m-n-5-1,m-t,p); %二项分布P10=binocdf(m-n-10-1,m-t,p);round(10000*m,J1,P5,P10)/10000 %显示结果function y=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta)%均是标量q=1-p; k=0:m-n-1;y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t).*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum(m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)-1;附1：实验提示27 / 27附2：第9章 概率模型3029.2 报童的诀窍304*本节完*3079.4 轧钢中的浪费309 题2(3)答案310 题2(2)(4)答案*本节完*3139.6 航空公司的预订票策略315 题3(1)(2)答案316 题3(3)(4)答案317*本节完*