数学总第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质

第六章圆第一节圆的有关概念及性质知识点一知识点一 圆的有关概念圆的有关概念 1 1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中，定点称为图形叫做圆其中，定点称为 _ _ ，定长称为，定长称为 _ _ 圆心圆心半径半径2 2与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弧：圆上任意弧：圆上任意 _的部分叫做圆弧，简称弧的部分叫做圆弧，简称弧(2)(2)弦：连接圆上任意两点的弦：连接圆上任意两点的 _叫做弦叫做弦(3)(3)直径：经过直径：经过 _ _ 的弦叫做直径的弦叫做直径(4)(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆等圆：能够重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧中，能够互相重合的弧叫做等弧两点间两点间线段线段圆心圆心等弧只存在同圆或等圆中，大小不等的圆中不存在等弧等弧只存在同圆或等圆中，大小不等的圆中不存在等弧(5)(5)圆心角：顶点在圆心角：顶点在 _ _ 的角叫做圆心角的角叫做圆心角(6)(6)圆周角：顶点在圆周角：顶点在 _，两边分别与圆还有另一个，两边分别与圆还有另一个交点像这样的角，叫做圆周角交点像这样的角，叫做圆周角圆心圆心圆上圆上知识点二知识点二 圆的有关性质圆的有关性质 1 1圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _的直线，有的直线，有 _ _ 条对称轴条对称轴(2)(2)圆是中心对称图形，对称中心为圆是中心对称图形，对称中心为 _ _ 过圆心过圆心无数无数圆心圆心根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合2 2圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系(1)(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _ _ ，所对的弦也所对的弦也 _ _ (2)(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 _ _ ，所对的弦，所对的弦 _ _ 相等相等相等相等相等相等相等相等(3)(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角的圆心角 _ _ ，所对的优弧和劣弧分别，所对的优弧和劣弧分别 _ _ 相等相等相等相等3 3垂径定理及其推论垂径定理及其推论(1)(1)垂径定理：垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径 _ _ 弦，并且弦，并且 _ _ 弦所对的弧弦所对的弧(2)(2)推论：推论：平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径的直径 _ _ 于弦，于弦，并且并且 _弦所对的弧；弦所对的弧；弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过 _ _ ，并且平分弦所对的两，并且平分弦所对的两条弧；条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且 _ _ 另一条弧另一条弧平分平分平分平分垂直垂直平分平分圆心圆心平分平分垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：过圆心；过圆心；垂直于弦；垂直于弦；平分弦；平分弦；平分弦所对的优平分弦所对的优弧；弧；平分弦所对的劣弧如果已知五个结论中的两个平分弦所对的劣弧如果已知五个结论中的两个结论，那么可以推出另外三个结论结论，那么可以推出另外三个结论4 4圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论(1)(1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的数的 _ _ (2)(2)推论：推论：同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角 _ _ ；半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是 _；9090的圆周的圆周角所对的弦是角所对的弦是 _ _ 一半一半相等相等直角直角直径直径5 5圆内接多边形圆内接多边形(1)(1)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆这个多边形的外接圆(2)(2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 _ _ 互补互补知识点三知识点三 确定圆的条件确定圆的条件1 1不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆2 2三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形三边的外接圆外接圆的圆心是三角形三边 _ _ 的的交点，叫做三角形的外心交点，叫做三角形的外心 垂直平分线垂直平分线考点一考点一 弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017宜昌宜昌) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO，ACAC平分平分BADBAD，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( )( ) 【分析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可逐一判断即可圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，简称为应的其余各组量都分别相等，简称为“知一推二知一推二”但但是在进行弧、弦、圆心角之间的相互转化时一定要注意，是在进行弧、弦、圆心角之间的相互转化时一定要注意，前提条件是前提条件是“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”考点二考点二 垂径定理垂径定理 (5(5年年2 2考考) )【分析】【分析】 作作OHOHCDCD于于H H，连接，连接O OC C，根据垂径定理得到，根据垂径定理得到H HC CH HD D，再利用，再利用A AP P2 2，B BP P6 6求出求出OPOP. .在在RtRtOPHOPH中根据中根据直角三角形的性质求出直角三角形的性质求出OHOH，然后在，然后在RtRtOHOHC C中利用勾股定中利用勾股定理求出理求出C CH H，继而求出，继而求出CD.CD.利用垂径定理解题时应注意：利用垂径定理解题时应注意：(1)(1)过圆心作弦的垂线，连过圆心作弦的垂线，连接圆心和弦的一端接圆心和弦的一端( (即半径即半径) )和弦的一半构建在一个直角三和弦的一半构建在一个直角三角形中，这三个量角形中，这三个量“知二得一知二得一”，故往往作辅助线时看这，故往往作辅助线时看这三条线缺哪条作哪条，然后运用勾股定理求解；三条线缺哪条作哪条，然后运用勾股定理求解；(2)(2)在直在直接运用垂径定理求线段的长度时，在构建出直角三角形后接运用垂径定理求线段的长度时，在构建出直角三角形后常常设未知数，用方程思想求解常常设未知数，用方程思想求解3 3(2017(2017广州广州) )如图，在如图，在OO中，中，ABAB是直径，是直径，CDCD是弦，是弦，ABCDABCD，垂足为，垂足为E E，连接，连接COCO，ADAD，BADBAD2020，则下列，则下列说法中正确的是说法中正确的是( )( )A AADAD2 2O OB BB BC CE EEOEO C CO OC CE E4040 D DB BO OC C2BAD2BADD D考点三考点三 圆周角定理圆周角定理 (5(5年年1 1考考) ) 如图，如图， ABCDABCD的顶点的顶点A A，B B，D D在在OO上，顶点上，顶点C C在在O O的直径的直径BEBE上，连接上，连接AEAE，EE3636，则，则ADCADC的度数是的度数是( () )A A4444 B B5454 C C7272 D D5353 【分析】【分析】 首先根据直径所对的圆周角为直角得到首先根据直径所对的圆周角为直角得到BAEBAE，然后利用四边形然后利用四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，EE3636，得到，得到BADBAD，进而求得，进而求得ADC.ADC.【自主解答】【自主解答】 BEBE是直径，是直径，BAEBAE9090. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，BEABEADAEDAE3636，BADBAD126126，ADCADC5454. .故选故选B.B.讲：与圆周角有关的多解问题讲：与圆周角有关的多解问题在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，常常会因为漏解而导致错误常常会因为漏解而导致错误练：链接变式训练练：链接变式训练6 65 5(2017(2017石家庄二模石家庄二模) )如图，点如图，点A A是量角器直径的一个是量角器直径的一个端点，点端点，点B B在半圆周上，点在半圆周上，点P P在上，点在上，点Q Q在在ABAB上，且上，且PBPBPQ.PQ.若点若点P P对应对应140140(40(40) )，则，则PQBPQB的度数为的度数为( )( )A A6565 B B7070 C C7575 D D8080B B6 6如图，如图，OO的半径为的半径为1 1，ABAB是是OO的一条弦，且的一条弦，且ABAB1 1，则弦则弦ABAB所对的圆周角的度数为所对的圆周角的度数为 _3030或或150150考点四考点四 圆内接四边形圆内接四边形 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017广东广东) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO，DADADCDC，CBECBE5050，则，则DACDAC的大小为的大小为( )( )A A130130 B B100100 C C6565 D D5050【分析】【分析】 先根据补角的性质求出先根据补角的性质求出ABCABC的度数，再由圆的度数，再由圆内接四边形的性质求出内接四边形的性质求出ADCADC的度数，由等腰三角形的性的度数，由等腰三角形的性质求得质求得DACDAC的度数的度数求解圆内接四边形的角度问题，常将圆外的角转移到圆求解圆内接四边形的角度问题，常将圆外的角转移到圆内去，再利用圆内接四边形对角互补的性质求解内去，再利用圆内接四边形对角互补的性质求解8 8(2017(2017牡丹江牡丹江) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO，ABAB经经过圆心，过圆心，BB3BAC3BAC，则，则ADCADC等于等于( )( )A A100100 B B112.5112.5C C120120 D D135135B B