一元二次函数课件

一元二次函数一元二次函数二次函数高考地位分析二次函数高考地位分析 二次函数问题是一类重要的问题，它以函数、不等二次函数问题是一类重要的问题，它以函数、不等式、方程知识为载体，融推理、证明、探索于一体，式、方程知识为载体，融推理、证明、探索于一体，综合性强，是教与学的难点。而综合性强，是教与学的难点。而数学课程标准数学课程标准指指出：出：“结合二次函数的图像，判断一元二次函数方程结合二次函数的图像，判断一元二次函数方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根的联系”，同时又强调：，同时又强调：“通过函数图像了解一元通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系二次不等式与相应函数、方程的联系”。显然，新标。显然，新标准把二次函数摆在了更重要的位置，并突出了三个准把二次函数摆在了更重要的位置，并突出了三个“二次二次”之间的关系，对思维能力的要求提高了，因之间的关系，对思维能力的要求提高了，因此有必要对这类问题作一些探讨。此有必要对这类问题作一些探讨。1、二次函数解析式的三种表示形式：、二次函数解析式的三种表示形式：一般式一般式_ 顶点式顶点式_ 两根式两根式_ 要点回顾要点回顾) 0(2acbxaxy)0()(2anmxay) 0)()(21axxxxay2、二次函数、二次函数 的图像与性质：的图像与性质： ) 0(2acbxaxy图像图像定义域定义域值域值域单调性单调性增区间：增区间： 增区间：增区间： 减区间：减区间： 减区间：减区间： )2,(ab),2(ab0a0a)2,(ab),2(ab),442abac44,(2abac实数集实数集R实数集实数集R要点回顾要点回顾判别式判别式=b2-4ac0=00) 的图像的图像二次方程二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根的根二次不等式二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的解集的解集二次不等式二次不等式ax2+bx+c0)的解集的解集3、“三个二次三个二次”：二次函数、二次方程、二次不等式间的主要关：二次函数、二次方程、二次不等式间的主要关系系4 4、设方程设方程ax2+bx+c=0(a0)若若0则则x1=_ x2=_ x1+x2=_，x1x2=_ ，|x1-x2|=_韦德定理韦德定理aacbb242aacbb242acab| a|21xxxx|21xxxxx或2|abxx没有实根没有实根实数集实数集Raacbbx2422 , 1有两个相异实根有两个相异实根abxx221有两个相等实根有两个相等实根x1x2x1=x2课前自测课前自测1、函数、函数y=-x2+x-2在区间在区间1，4上的最小值（上的最小值（ ）A-、若函数、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间 上是减函上是减函 数，那么实数数，那么实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） Aa3 a-3 a5 a34 ,(3、如果函数、如果函数f(x)=x2+bx+c，对任意实数，对任意实数t都有：都有： f(2+t)=f(2-t)，那么（，那么（ ） A f(2)f(1)f(4) f(1)f(2)f(4) f(2)f(4)f(1) f(4)f(2)f(1) 4、已知二次函数已知二次函数f(x)=x2-4x-4，则，则f(x)在在4，5上的上的 最小值为最小值为_，在，在0，3上的最小值为上的最小值为_， 在在-2，-1上的最小值为上的最小值为_5、已知二次函数、已知二次函数f(2)=-1，f(-1)=-1，且，且f(x)的最大值的最大值 是是8，则该函数解析式为，则该函数解析式为_CBA-4-81f(x)=-4x2+4x+75、已知二次函数、已知二次函数f(2)=-1，f(-1)=-1，且，且f(x)的最大值的最大值 是是8，则该函数解析式为，则该函数解析式为_课前自测课前自测解法一：利用一般式解法一：利用一般式 设设)0()(2acbxaxxf由题意得由题意得 84411242abaccbacba 解之得解之得744cba 所求二次函数为所求二次函数为 744)(2xxxf课前自测课前自测解法二：利用顶点式解法二：利用顶点式 所求二次函数为所求二次函数为 7448)21( 4)(22xxxxf) 1()2( ff所以抛物线的对称轴为所以抛物线的对称轴为 212) 1(2x又函数有最大值为又函数有最大值为 8 ) 0(8)21()(2axaxf所以可设所以可设1)2(f18)212(2a解之得解之得4a 5、已知二次函数、已知二次函数f(2)=-1，f(-1)=-1，且，且f(x)的最大值的最大值 是是8，则该函数解析式为，则该函数解析式为_课前自测课前自测解法三：利用两根式解法三：利用两根式 所求二次函数为所求二次函数为 744) 1)(2( 4)(2xxxxxf又函数有最大值为又函数有最大值为 8 ) 0() 1)(2()(axxaxf所以可设所以可设 由已知由已知 01)(xf的两根为的两根为 1, 221xx5、已知二次函数、已知二次函数f(2)=-1，f(-1)=-1，且，且f(x)的最大值的最大值 是是8，则该函数解析式为，则该函数解析式为_即即12)(2aaxaxxf84) 12(42aaaa即即解之得解之得4a或或a=0(舍去舍去)探究互动探究互动（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题（一）求二次函数解析式的问题（一）求二次函数解析式的问题（一）求二次函数解析式的问题（一）求二次函数解析式的问题例例1：已知二次函数：已知二次函数f(x)满足满足f(2-x)=f(x-1)，f(x)的最大值的最大值 是是9，且，且f(x)=0的两根的平方和为的两根的平方和为5，求，求f(x)的解析式的解析式又又f(x)的最大值是的最大值是9解解: :由由f(2-x)=f(x-1)得得f(x)的对称轴的对称轴21x故可设故可设 ，且，且a09)21()(2xaxf即即941)(2aaxaxxf设设f(x)=0的两根的两根x1、x2，则，则 ，121 xxaxx941215)941( 212)(212212221axxxxxx解得解得a= - 4，所以，所以844)(2xxxf 两根的平方和为两根的平方和为50)(xf（一）求二次函数解析式的问题（一）求二次函数解析式的问题规律总结：规律总结：待定系数法求解析式，关键合理选用解析待定系数法求解析式，关键合理选用解析式的形式，注重转化化归思想的运用式的形式，注重转化化归思想的运用 （一）求二次函数解析式的问题（一）求二次函数解析式的问题练习练习1：已知：已知f(x)是二次函数，且不等式是二次函数，且不等式f(x)0的解集的解集 为为（0，5），），且且f(x)在区间在区间-1，4上的最大值为上的最大值为12， 求求f(x)的解析式的解析式解：解：f(x)是二次函数，且是二次函数，且f(x)0)，即，即425)25()(2xaxfxyt+1t（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题例例2：函数：函数f(x)=x2-4x-4在闭区间在闭区间t，t+1 tR上的上的最小值为最小值为g(t)，试写出，试写出g(t)的函数表达式的函数表达式分析分析: :当当t2时，时，f(x)在在t，t+1上是增函数上是增函数g(t)=f(t)=t2-4t-4f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8xy（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题例例2：函数：函数f(x)=x2-4x-4在闭区间在闭区间t，t+1 tR上的上的最小值为最小值为g(t)，试写出，试写出g(t)的函数表达式的函数表达式tt+1分析分析: :当当t2t+1，即，即1t2时时g(t)=f(2)= - 8f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8xyt+1t（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题例例2：函数：函数f(x)=x2-4x-4在闭区间在闭区间t，t+1 tR上的上的最小值为最小值为g(t)，试写出，试写出g(t)的函数表达式的函数表达式分析分析: :当当t+12，即，即t2时，时，f(x)在在t，t+1上是增函数上是增函数当当t2t+1，即，即1t2时时当当t+12，即，即t1时，时，f(x)在在t，t+1上是减函数上是减函数g(t)=f(t)=t2-4t-4g(t)=f(t+1)=t2-2t-7g(t)=f(2)= - 8) 2(44) 21 (8) 1(72)(22ttttttttg从而从而xyt+1t（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题当当 时时212 t变式思考：变式思考：如何求函数如何求函数f(x)=x2-4x-4在闭区间在闭区间t，t+1 tR上的最大值上的最大值h(t)呢？呢？h(t)=f(t)=t2-4t-4分析分析: :21t区间区间t，t+1的中点的中点xyt+1t当当 时时212t（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题分析分析: :变式思考：变式思考：如何求函数如何求函数f(x)=x2-4x-4在闭区间在闭区间t，t+1 tR上的最大值上的最大值h(t)呢？呢？h(t)=f(t+1)=t2-2t-7)23(72)23(44)(22ttttttth从而从而21t区间区间t，t+1的中点的中点（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题规律总结：规律总结： 二次函数求最值（或值域），关键是抓住二次函数求最值（或值域），关键是抓住“三点一轴三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴指的是对称轴（二）二次函数的值域和最值问题（二）二次函数的值域和最值问题练习练习2：已知函数：已知函数f(x)=x2+2ax+1，在区间，在区间-1，2上上的最大值为的最大值为4，求，求a的值的值解：解：f(x)的对称轴的对称轴x= - a当当 即即 时，时，21 a21a422) 1()(maxafxf，可得，可得1a 当当 即即 时，时，21a21a445)2()(maxafxf，可得，可得41a所以所以 或或1a41a1、待定系数法求解析式、待定系数法求解析式 三种形式三种形式 转化化归思想转化化归思想2、最值（或值域）问题、最值（或值域）问题 抓住抓住“三点一轴三点一轴” 数形结合与分类讨论思想数形结合与分类讨论思想 课堂小结课堂小结作业：作业：学案学案课后练习课后练习练习：练习：二次函数抛物线简单的图形变换二次函数抛物线简单的图形变换 名称名称 a顶点顶点(h,k) 平移平移 a (h,k)轴轴 x 轴轴对对称称 y轴轴 -a (-h,k) a (h, -k)旋转旋转(绕绕 顶点转顶点转1800) -a (h, k)左加又减上加下减例例1、将二次函数、将二次函数 的图象作下列图形变换的图象作下列图形变换1、上移、上移2个单位，再向右平移个单位，再向右平移1个单位，得到的新图象的解析个单位，得到的新图象的解析式是式是 _ ； 2、分别沿轴、轴对折，得到的新图象的解析式是、分别沿轴、轴对折，得到的新图象的解析式是_； 3、绕其顶点旋转、绕其顶点旋转1800，得到的新图象的解析式是得到的新图象的解析式是_ ； 322xxy