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专题限时集训(十五)A第15讲圆锥曲线中的热点问题(时间：5分钟40分钟)基础演练1已知a，b为正常数，F1，F2是两个定点，且|F1F2|2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|PF2|a21，则动点P的轨迹是()A椭圆 B线段C椭圆或线段 D直线2若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则m的取值范围为()A0m5 B1m5C1m13以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x20相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A(0，2)B(2，0)C(4，0)D(0，4)4已知点P是双曲线1上任一点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ的中点M的轨迹方程是()A1B1C1D15若抛物线y22px的焦点在圆(xp)2(y1)24内，则实数p的取值范围是_提升训练6在直角坐标平面内，已知两点A(2，0)，B(2，0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，则点P的轨迹方程是()A1 B1C1 D17已知点P为抛物线x212y的焦点，A，B是双曲线3x2y212的两个顶点，则APB的面积为()A4 B6C8 D128已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13 D159已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C D.10已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y3)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_11已知动点M(x，y)，向量m(x3，y)，n(x3，y)，且满足|m|n|8，则动点P的轨迹方程是_12如图151所示，直线ym与抛物线y24x交于点A，与圆(x1)2y24的实线部分交于点B, F为抛物线的焦点，则ABF的周长的取值范围是_图15113已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点(1)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程(2)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A，B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由14已知椭圆C：1(ab0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：xy0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA, MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1, k2, 且k1k22，证明：直线AB过定点(1，1)15已知抛物线的顶点为(0，0)，准线为x2，不垂直于x轴的直线xty1与该抛物线交于A，B两点，圆M以AB为直径(1)求抛物线的方程(2)圆M交x轴的负半轴于点C，是否存在实数t，使得 ABC的内切圆的圆心在x轴上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由专题限时集训(十五)B第15讲圆锥曲线中的热点问题(时间：5分钟40分钟)基础演练1如图152，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等证明：tt为定值图1522已知动点P到直线l：x40的距离与它到点M(2，0)的距离之差为2，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程(2)问直线l上是否存在点Q，使得过点Q且斜率分别为k1，k2的两直线与曲线C相切，同时满足k12k20？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3已知圆心为F1的圆的方程为(x2)2 y232，F2(2，0)，C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设N(0，2)，过点P(1，2)作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值提升训练4如图153所示，两条相交线段AB，PQ的四个端点都在抛物线y2x上，其中，直线AB的方程为xm，直线PQ的方程为yxn.(1)若n0，BAPBAQ，求m的值(2)探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有BAPBAQ? 图1535设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|.专题限时集训(十五)A【基础演练】1C解析 因为a212a(当且仅当a1时，等号成立)，所以|PF1|PF2|F1F2|.当a1时，|PF1|PF2|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a1时，|PF1|PF2|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2.2B解析 由于直线ykx1过定点(0，1)，要使直线与椭圆恒有公共点，只需定点(0，1)在椭圆上或椭圆内，所以m1.由于焦点在x轴上，所以0m5，于是满足条件的m的范围是1m5.3B解析 直线x20为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)4A解析 设M(x，y)，则P(x，2y)，将(x，2y)代入双曲线的方程得1，所以所求轨迹方程为1.5解析 抛物线y22px的焦点为，由题意得，2，解得2 p|AB|，从而点P的轨迹是中心在原点，以A，B为焦点的椭圆，其中2a6，2c4，所以b2945，所以椭圆方程为1.7B解析 依题有P，A，B，故OP3，AB4，所以SAPB|AB|OP|436.8B解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.9A解析 直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2.101解析 根据抛物线的定义知，点P到准线的距离即点P到焦点F(1，0)的距离因为焦点F到圆心(0，3)的距离为，所以点P到圆上点Q与到准线距离之和的最小值为1.111解析 由已知得8，即动点P到两定点M (3，0)，N(3，0)的距离之和为常数，且|PM|PN|MN|6，所以动点P的轨迹是椭圆，且2a8，2c6，所以椭圆方程为1.12(4，6)解析 过A作AA垂直准线交准线于A，由抛物线的定义知|AF|AA|，而焦点恰为圆的圆心，所以ABF的周长C|AF|AB|BF|AA|AB|BF|BA|BF|，显然2|BA|4，所以4C0)， 又a248，抛物线方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，0)由得y28ty80，则由点C在以AB为直径的圆上可得0.又(x1x0，y10)，(x2x0，y20)，(x1x0)(x2x0)y1y20.又x1ty11，x2ty21，1t(y1y2)2x0xy1y20，x(8t22)x070.(*)若存在t，使得ABC的内心在x轴上，则kCAkCB0，0，即2ty1y2(y1y2)(1x0)0，即2t(8)8t(1x0)0，x01.结合(*)得，t.专题限时集训(十五)B【基础演练】1解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)，由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0). (2)证明：设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x，由t1t2，知x1x2，所以xxa2.从而yyb2，因此tta2b2为定值2解：(1)根据抛物线的定义，曲线C是以(2，0)为焦点，x2为准线的抛物线，所以p4.故曲线C的方程为y28x.(2)设Q(4，y0)，过Q与曲线C相切的直线设为yy0k(x4)(k0)，联立得ky28y8y032k0.644k(8y032k)0，即4k2y0k20，所以因为k1，k2是两切线的斜率且满足k12k2，所以解得又因为k1k2，所以y02.故存在点Q(4，2)和(4，2)，使得过点Q的两直线与曲线C相切，且满足k12k20.3解：(1)由线段的垂直平分线的性质，得|MF2|MC|, 又|F1C|4 ，|MF1|MC|4 ，|MF1|MF2|4 ， 动点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4 的椭圆由c2，a2 ，得b2a2c24，动点M的轨迹方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，求得A ，B，则k1k24.当直线l的斜率存在时，设其方程为y2k(x1), 由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，从而k1k22k(k4)4，综上，恒有k1k24.【提升训练】4解：(1)由解得P(0，0)，Q(4，2)因为BAPBAQ，所以kAPkAQ0.设A(m，y0)，则0，化简得my02y0m，又ym，联立解得m1或m4.因为AB平分PAQ，所以m4不合适，故m1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得y22y2n0.4(12n)，y1y22，y1y22n.若存在常数m，当n变化时，恒有BAPBAQ，则由(1)知，只可能m1.当m1时，A(1，1)，BAPBAQ等价于0，即(y11)(2y22n1)(y21)(2y12n1)0，即4y1y2(2n1)(y1y2)2(2n1)，即8n2(2n1)2(2n1)，此式恒成立也可以从kAPkAQ0恒成立来说明所以，存在常数m1，当n变化时，恒有BAPBAQ.5解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)由题意，有1.由A(a，0)，B(a，0)，得kAP，kBP.由kAPkBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a，0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k24.由ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.(方法二)依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，有1.因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2.由|AP|OA|，A(a，0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|.
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