数学第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第23练 数列的证明、通项与求和 文

第二篇熟练规范中档大题保高分第23练数列的证明、通项与求和明考情数列的通项与求和是高考的热点，考查频率较高.中档难度，一般在解答题的前半部.知考向1.等差、等比数列的判定与证明.2.数列的通项与求和.研透考点核心考点突破练栏目索引规范解答模板答题规范练研透考点核心考点突破练考点一等差、等比数列的判定与证明方法技巧方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.(2016全国)已知各项都为正数的数列an满足a11， (2an11)an2an10.(1)求a2，a3；解答123456(2)求an的通项公式.得2an1(an1)an(an1).解答1234562.已知数列an满足a11，a24，an23an12an(nN*).(1)设bnan12an，证明：数列bn既是等差数列又是等比数列；证明证明因为an23an12an，所以an22an1an12an，又bnan12an，所以bn1an22an1，因此对任意的nN*，bn1bn0(常数)，又bnan12anan2an1a22a120，根据等差数列和等比数列的定义知，数列bn既是等差数列又是等比数列.证明123456(2)求数列an的通项公式.解解方法一方法一由(1)知，an2an12，由an23an12an，得an2an12(an1an)，又a2a13，所以数列an1an是首项为3，公比为2的等比数列，anan132n2(n2)，联立得，an32n12(n2)，经检验当n1时也符合该式.故数列an的通项公式为an32n12(nN*).方法二方法二由(1)可得an12an2，即an122(an2)，所以数列an2是公比为2的等比数列，则an2(a12)2n132n1，即an32n12(nN*).解答1234563.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*).(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；解解在Sn2an(1)n(nN*)中分别令n1，2，3，解答123456证明123456证明证明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减，得an2an12(1)n(n2)，1234564.(2016全国)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；解解设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.解答123456(2)求数列bn的前1 000项和.所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.1234解答56(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；数列bn是公差为2的等差数列.123456证明数列cncn2的前n项和为123456解答6.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数.(1)证明：an2an；证明证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.证明123456(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.解解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列.解答123456考点二数列的通项与求和方法技巧方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的数列，可用累加法；构造数列法(2)数列求和的常用方法倒序相加法；分组求和法；错位相减法；裂项相消法.(1)求数列an的通项公式；所以Sn2n2n.当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413满足上式，所以an4n3，nN*.78解答9101112(2)若bn(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解答解解(分组求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.7891011128.设nN*，数列an的前n项和为Sn，且Sn1Snan2，已知a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式；789101112解解由Sn1Snan2，得an1an2(nN*)，所以数列an是以a1为首项，2为公差的等差数列.由a1，a2，a5成等比数列，即(a12)2a1(a18)，解得a11.所以an2n1(nN*).解答所以Tn121322523(2n1)2n， 2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得Tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16，所以Tn(2n3)2n16.解答7891011121an9.(2017广东汕头一模)已知数列an的前n项和为Sn，a12，an1Sn2. (1)求数列an的通项公式；解解an1Sn2，anSn12(n2).两式作差得an1anSnSn1an，又当n1时，a2S124，数列an是公比为2，首项为2的等比数列，ana1qn12n (nN*).789101112解答解答78910111210.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求数列an的通项公式；解答又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，数列an的通项公式为an3n1，nN*.789101112(2)求数列|ann2|的前n项和.解解设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当x2时，满足上式，解答789101112(1)求数列bn的通项公式；解答789101112789101112(2)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.所以Sna1a2a2a3anan1解答789101112证明789101112789101112789101112解答规范解答模板答题规范练例例(12分)下表是一个由n2个正数组成的数表， 用aij表示第i行第j个数(i， jN*)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知a111，a31a619，a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n an1an2an3ann(1)求an1和a4n；模板体验审题路线图审题路线图规范解答规范解答评分标准评分标准解解(1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a31a61(12d)(15d)9，d1，an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3，a35a31q43q448，又q0，q2.又a414，a4na41qn142n12n1.4分构建答题模板构建答题模板第一步找关系找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.第二步求通项求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式.第三步定方法定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).第四步写步骤写步骤.第五步再反思再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.1.(2017包头一模)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n (nN*).(1)求a1，a2，a3的值；规范演练解解当n1时，由S12a131，可得a13；当n2时，由S22a232，可得a29；当n3时，由S32a333，可得a321.12345解答(2)是否存在常数，使得数列an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an；若不存在，请说明理由.解解令(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.由Sn2an3n及Sn12an13(n1)，两式相减，得an12an3.由以上结论得an13(2an3)32(an3)，所以数列an3是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在3，使得数列an3为等比数列，所以an3(a13)2n1，所以an3(2n1).12345解答2.设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；解解由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n+1)1.而a12，所以数列an的通项公式为an22n1.12345解答(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解解(错位相减法)由bnnann22n1知，Sn12223325n22n1，22Sn123225327n22n+1，得(122)Sn2232522n1n22n+1，12345解答(1)求an的通项公式；解解设数列an的公比为q.解得q2或q1.所以an2n1.12345解答12345解答4.已知数列an，a11，an2an11(n2，nN*).(1)求证：数列an1是等比数列；12345证明证明证明an12(an11)(n2)，又a112，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列.12345解解an12n，an2n1.解答12345证明5.已知数列an中，a11，a39，且anan1n1(n2).(1)求的值及数列an的通项公式；解解a11，anan1n1，a22，a351，由a3519，得2.于是anan12n1，即anan12n1，an1an22n3，an2an32n5，a2a13.12345解答(2)设bn(1)n(ann)，且数列bn的前n项和为Sn，求S2n.解解由(1)得bn(1)n(ann)(1)nn(n1).故S2n122334455667(2n1)2n2n(2n1)2(13)4(35)6(57)2n(2n12n1)2(2462n)12345解答