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第3讲 电容器、带电粒子在电场中的运动 考情直播1考纲解读考纲内容能力要求考向定位1.电容器2.带电粒子在电场中的运动1.知道电容器的电压、电荷量和电容的关系；知道平行板电容器的电容与那些因素有关.2.掌握带电粒子在电场中的加速、偏转规律，了解示波器的原理,会用运动的分解来求解有关偏转问题.带电粒子在匀强电场中的运动是电场最核心的内容，也是高考的热点问题，几乎全国各地每年都有大题是考查这一知识点的，对带电粒子的平衡、加速、偏转三类问题，要认识到这些问题是力学问题，只是在受力分析时多了电场力而已.另外电容器的动态变化也是常考的一个问题.2.考点整合考点一 平行板电容器的动态分析1电容：电容器所带的电荷量与电容器两极板间的电势差之比称为电容.即 .单位：法拉. 1F=106F=1012pF.2平行板电容器的电容：平行板电容器电容的决定式是: ，式中是电介质的介电常数，无单位.特别提醒：电容也是用比值来定义的一个物理量，掌握用比值定义的物理量的特点，区分电容的定义式和决定式.电容器两极板的电势差用静电计来测量.电容器问题主要涉及到两种类型，要掌握这两种类型的问题中，什么变，什么不变.图6ABR例1. (2020年广州一模)如图6所示，平行板电容器在充电后不切断电源，此时板间有一带电尘粒恰能在电场中静止，当正对的平行板左右错开一些时（ ）A带电尘粒将向上运动B带电尘粒将保持静止C通过电阻R的电流方向为A到BD通过电阻R的电流方向为B到A解析 电容器始终与电源相连，故U不变，两极板左右错开一些，板间距离不变，故E不变，C减小，Q减小，电容器放电，放电电流为顺时针方向.答案 BC方法技巧平行板电容器的动态分析主要有两种情况，一种是电容器的两极始终与电源连接，这样不论电容器的电容如何变化，两极板的电压是不变的，另一种是电容器被充电后与电源断开（只有一个极板断开连接就可以了）这样极板上的电荷量与外界不会发生转移，所以Q不变. 求解电容器的动态变化关键在于分清类型，再结合定义式和决定式进行分析.考点二 带电粒子在电场中的加速问题1.基本粒子（如质子、电子、离子、带电粒子等）在没有明确指出或暗示下，重力一般忽略不计，当研究对象为“带电微粒”、“带电尘埃”、“带电小球”时，重力一般不能忽略.2.带电粒子的加速问题可以从能量的观点和牛顿运动定律的观点解决.特别提醒：带电粒子在电场中的加速问题可以从受力的角度来分析，根据牛顿第二定律和运动学公式求解，也可以从能量的角度用动能定理求解.如动能定理.对于带电粒子在交变电场中的运动往往用v-t图象求解. tU0-U0oT/2 T 3T/2 2T 例2如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔.右极板电势随时间变化的规律如图所示.电子原来静止在左极板小孔处.（不计重力作用）下列说法中正确的是（ ）A.从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上B.从t=0时刻释放电子，电子可能在两极板间振动C.从t=T/4时刻释放电子，电子可能在两极板间振动，也可能打到右极板上D.从t=3T/8时刻释放电子，电子必将从左极板上的小孔中穿出解析作出不同时刻的释放电子的v-t图象，从图可知AC正确.方法技巧带电粒子的加速问题可以从力学的观点来求解，即根据牛顿第二定律求解，但粒子必须是在匀强电场中运动, 对于带电粒子在交变电场中的运动往往用v-t图象求解.U L dv0m，qyvt考点三 带电粒子在电场的偏转问题1.规律：平行于板方向： ；垂直于板方向： .2.侧位移：3.偏转角： 特别提醒:带电粒子在匀强电场中的偏转实际上相当于一个类平抛运动，故求解的思维方法和平抛运动的一模一样，用运动的分解进行求解，当然，有时也可从能量的角度来求解.例3（2020年肇庆一模）喷墨打印机的结构简图如图所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，此微滴经过带电室时被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号控制.带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场后，打到纸上，显示出字体.无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒.设偏转板板长为L=1.6cm，两板间的距离为d=0.50cm，偏转板的右端距纸L1=3.2cm，若一个墨汁微滴的质量为m=1.610-10kg，以v0=20ms的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是U=8.0103V，若墨汁微滴打到纸上的点距原射入方向的距离是Y=2.0mm. 不计空气阻力和墨汁微滴的重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性.（1）上述墨汁微滴通过带电室带的电量是多少；（2）若用（1）中的墨汁微滴打字，为了使纸上的字体放大10，偏转板间电压应是多大。解析：（1）墨汁微滴在平行板运动时，由电学知识可得：U=Ed墨汁微滴在竖直方向的加速度:a=墨汁微滴在竖直方向的位移:y=at2墨汁微滴在平行板运动时间：L=v0t由几何学知识可得：联立可解得：q=1.2510-13(C)(2)要使字体放大10%，则墨汁微滴打到纸上的点距原射入方向的距离应是Y=Y(1+10%)设此时墨汁微滴在竖直方向的位移是y，由几何知识可得：可解得：U=8.8103（V）方法技巧求解带电粒子在电场中的偏转问题最基本的思维方法是运动的分解，即分解速度和分解位移，可类比平抛运动的求解，另外做平抛运动和类平抛运动的物体某点的速度反向延长线必经过对应水平位移的中点，这个结论对求解类平抛运动很有好处. 高考重点热点题型探究热点1电容器的动态分析【真题1】（2020年重庆卷）图1是某同学设计的电容式速度传感器原理图，其中上板为固定极板，下板为待测物体，在两极板间电压恒定的条件下，极板上所带电量Q将随待测物体的上下运动而变化，若Q随时间t的变化关系为Q=（a、b为大于零的常数），其图象如题21图2所示，那么题21图3、图4中反映极板间场强大小E和物体速率v随t变化的图线可能是( )A.和 B.和 C.和 D.和解析由题意可知： 所以E的变化规律与Q的变化规律相似，所以E的图象为，由k, 所以d =vt+a,所以是匀速移动，所以速度图象为，综上所述C正确.答案C名师指引 本题考查速度传感器的有关知识，具有较大的难度，但实际上还是电容器两极板电压不变的情形.【真题2】（2020年宁夏卷）.如图所示，C为中间插有电介质的电容器，a和b为其两极板；a板接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P板与b板用导线相连，Q板接地.开始时悬线静止在竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了角度a.在以下方法中，能使悬线的偏角a变大的是( )A.缩小a、b间的距离B.加大a、b间的距离C.取出a、b两极板间的电介质D.换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质【解析】a板与Q板电势恒定为零，b板和P板电势总相同，故两个电容器的电压相等，且两板电荷量q视为不变.要使悬线的偏角增大，即电压U增大，即减小电容器的电容C.对电容器C，由公式C = = ，可以通过增大板间距d、减小介电常数、减小板的正对面积S.答案BC名师指引本题关键在于分析出两电容器的电压始终相等，电容器极板的带电量始终不变.新题导练 + A B C1-1.(2020年佛山一模)给平行析电容器充电，断开电源后A极板带正电，B极板带负电.板间一带电小球C用绝缘细线悬挂，如图所示。小球静止时与竖直方向的夹角为，则A若将B极板向右平移稍许，电容器的电容将减小B若将B极板向下平移稍许，A、B两板间电势差将增大C若将B板向上平移稍许，夹角将变大D轻轻将细线剪，小球将做斜抛运动1-2.（2020年湛江二模）如图3所示的电路可将声音信号转化为电信号，该电路中右侧固定不动的金属板b，与能在声波驱动下沿水平方向振动的镀有金属层的振动膜a通过导线与恒定电源两极相接，若声源s沿水平方向做有规律的振动，则（ ）A. a振动过程中，ab板间的电场强度不变B. a振动过程中，ab板所带电量不变C. a振动过程中，灵敏电流计中始终有方向不变的电流D.a向右的位移最大时，ab两板所构成的电容器的电容量最大热点2 带电粒子在电场中的运动真题3（2020年全国卷2）一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比.若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率v匀速下降；若两极板间的电压为U，经一段时间后，油滴以速率v匀速上升.若两极板间电压为U，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是（ ）A2v、向下B2v、向上C3 v、向下D3 v、向上解析当不加电场时，油滴匀速下降，即；当两极板间电压为U时，油滴向上匀速运动，即，解之得:,当两极间电压为U时，电场力方向反向，大小不变，油滴向下运动，当匀速运动时，解之得：v=3v，C项正确.答案C名师指引本题因是带电油滴在电场中的运动，故一定要考虑油滴的重力.【真题4】（2020年上海卷）如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图.在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）.（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置.（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置.（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置.解析（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有解得y，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（2L，）（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有解得xy，即在电场I区域内满足议程的点即为所求位置.（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有，解得，即在电场I区域内满足议程的点即为所求位置名师指引本题考查带电粒子在匀强电场中的加速和偏转，能很好的考查同学们的思维能力.新题导练2-1如图所示，距离为L的两块平行金属板A、B竖直固定在表面光滑的绝缘小车上，并与车内电动势为U的电池两极相连，金属板B下开有小孔，整个装置质量为M，静止放在光滑水平面上，一个质量为m带正电q的小球以初速度v0沿垂直于金属板的方向射入小孔，若小球始终未与A板相碰，且小球不影响金属板间的电场(1)当小球在A、 B板之间运动时，车和小球各做什么运动？加速度各是多少？(2)假设小球经过小孔时系统电势能为零，则系统电势能的最大值是多少？从小球刚进入小孔，到系统电势能最大时，小车和小球相对于地面的位移各是多少？2-2.(2020年汕头一模)两块水平金属极板A、B正对放置，每块极板长均为l、极板间距为dB板接地（电势为零）、A板电势为+U，重力加速度为g两个比荷（电荷量与质量的比值）均为的带正电质点以相同的初速沿A、B板的中心线相继射入，如图所示第一个质点射入后恰好落在B板的中点处接着，第二个质点射入极板间，运动一段时间后， A板电势突然变为并且不再改变，结果第二个质点恰好没有碰到极板求：（1）带电质点射入时的初速（2）在A板电势改变之前，第二个质点在板间运动的时间抢分频道1.限时基础训练卷1.（2020年广东理科基础）关于电容器的电容C、电压U和所带电荷量Q之间的关系.以下说法正确的是（ ）AC由U确定 BC由Q确定图9382CC一定时，Q与U成正比DC一定时，Q与U成反比2.如图9-38-2：电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B板时速度为v，保持两板间电压不变，则 ( )A.当增大两板间距离时，v增大B.当减小两板间距离时，v增大C.当改变两板间距离时，v不变D.当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间增大图938223如图9-38-22所示，平行板电容器的极板A与一灵敏的静电计相接，极板B接地，若极板B稍向上移动一点，则（ ）A两极板间的电压不变，极板上的电量变大B两极板间的电压不变，极板上的电量减小C极板上的电量几乎不变，两极板间的电压变大D极板上的电量几乎不变，两极板间的电压变小4.（2020茂名二模）用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法下面四个物理量都是用比值法定义的，其中定义式正确的是（ ）A电容C= B磁感应强度B= C电场强度E= D电阻R=5. 三个电子从同一地点同时沿同一方向垂直进入偏转电场，出现如图9-38-9所示的轨迹，则可以判断（ ）图9389A.它们在电场中运动时间相同B.A、B在电场中时间相同，C先飞离电场C.C进入电场的速度最大，A最小D.电场力对C做功最小6.（2020年惠州二模）如图所示，a、b、c是静电场中的三个等势面，其电势分别是5V、0和5V.一个电子从O点以初速度v0进入电场，电子进入电场后的运动情况是（ ）A如果v0的方向向上，则电子的动量大小不变，方向不变B如果v0的方向向上，则电子的动量大小改变，方向不变C如果v0的方向向左，则电子的动量大小改变，方向改变D如果v0的方向向左，则电子的动量大小改变，方向不变图938107（2020深圳一模）如图9-38-10所示，质量相同的两个带电粒子P、Q以相同速度沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，P从两板正中央射入，Q从下极板边缘入射入，它们最后打在同一点(重力不计)，则从开始射入到打到上板的过程中（ ）A.它们的运动时间tQtPB.它们所带电量之比qP：qQ=1:2C.它们的动能增量之比D.它们的电势能减少量之比P图938148.(2020海南)一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向，两个比荷（即粒子的电荷量与质量之比）不同的带正电的粒子a和b，从电容器边缘的P点（如图9-38-14）以相同的水平速度射入两平行板之间.测得a和b与电容器的撞击点到入射点之间的水平距离之比为12.若不计重力，则a和b的比荷之比是（ ）A12B11C21D419.（2020北京）两个半径均为R的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d，极板间的电势差为U，板间电场可以认为是均匀的.一个粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心.已知质子电荷为e，质子和中子的质量均视为m，忽略重力和空气阻力的影响，求：（1）极板间的电场强度E；（2）粒子在极板间运动的加速度a；（3）粒子的初速度v0?10.（2020年华师附中）如图所示，有一初速可忽略的电子经电压U1加速后，进入两块水平放置、间距为d的、电压的U2的平行金属板间.若电子从板正中央水平射入，且恰好能从板的右端射出.设电子电量为e，求：（1）电子穿出电场时的动能；（2）金属板的长度.2基础提升训练11.(2020年佛山四校)在场强大小为E的匀强电场中,一质量为m,带电量为q的物体以某一初速沿电场反方向做匀减速直线运动,其加速度大小为0.8qE/m,物体运动s距离时速度变为零.则（ ）A物体克服电场力做功qEsB物体的电势能减少了0.8qEsC物体的电势能增加了qEsD物体的动能减少了0.8qEs12如图所示，示波器的示波管可以视为加速电场与偏转电场的组合，若已知加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转极板长为L，板间距为d，且电子被加速前的初速度可忽略，则关于示波器的灵敏度（即偏转电场中每单位偏转电压所引起的偏转量h/ U2）与加速电场、偏转电场的关系，下列说法中正确的是（ ）A. L越大，灵敏度越高B. d越大，灵敏度越高C. U1越大，灵敏度越小D灵敏度与U2无关bacdE图9381513.（2020上海）如图9-38-15所示，边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场.电量为q、动能为Ek的带电粒子从a点沿ab方向进入电场，不计重力.（1）若粒子从c点离开电场，求电场强度的大小和粒子离开电场时的动能；（2）若粒子离开电场时动能为Ek，则电场强度为多大？图938414. 如图9-38-4所示，由A、B两平行金属板构成的电容器放置在真空中，电容为C，原来不带电.电容器的A板接地，并且中心有一个小孔，通过这个小孔向电容器中射入电子，射入的方向垂直于极板，射入的速度为v0，如果电子是间歇发射的，即第一个电子达B板后再发射第二个电子，并且所有到达板的电子都留在B板上.随着电子的射入，两极板间的电势差逐渐增加，直至达到一个稳定值，已知电子的质量为m，电荷量为e电子所受的重力忽略不计，两板的距离为d.（1）当板上聚集了n个射来的电子时，两板间电场的场强E多大？（2）最多能有多少个电子到达B板？（3）到达B板的第一个电子在两板间运动的时间和最后一个电子在两板间运动的时间相差多少？15.（2020年广东五校联考）如图所示，相距为d的两块平行金属板MN与电源相连，电键S闭合后，MN间有匀强电场，一个带电粒子，垂直于电场方向从M板边缘射入电场，恰打在N板中间，若不计重力，求:（1）为了使粒子恰能刚好飞出电场N板应向下移动多少?（2）若把S打开，为达到上述目的，N板应向下移多少3 能力提高训练ABv图9382816一质量为m，带电量为-q的微粒（重力不计）在匀强电场中的A点时速度为v，方向与电场线垂直，在B点时的速度为2v，如图9-38-28所示，已知A、B两点间的距离为d，求：（1）A、B两点间的电势差;（2）电场强度的大小和方向?图9381617.(2020重庆)飞行时间质谱仪可通过测量离子飞行时间得到离子的荷质比q/m.如图9-38-16(1),带正电的离子经电压为U的电场加速后进入长度为L的真空管AB,可测得离子飞越AB所用时间t1.改进以上方法，如图9-38-16(2),让离子飞越AB后进入场强为E（方向如图）的匀强电场区域BC,在电场的作用下离子返回B端，此时，测得离子从A出发后飞行的总时间t2,（不计离子重力）（1）忽略离子源中离子的初速度，用t1计算荷质比;用t2计算荷质比.（2）离子源中相同荷质比离子的初速度不尽相同，设两个荷质比都为q/m的离子在A端的速度分别为v和v（vv）,在改进后的方法中，它们飞行的总时间通常不同，存在时间差t.可通过调节电场E使t=0.求此时E的大小.18. 如图所示，在竖直平面内建立xOy直角坐标系，Oy表示竖直向上的方向已知该平面内存在沿x轴负方向的区域足够大的匀强电场，现有一个带电量为2. 510-4C 的小球从坐标原点O沿y轴正方向以0. 4 kgm/s的初动量竖直向上抛出，它到达的最高点位置为图中的Q点，不计空气阻力，g取10 m/s2.(1)指出小球带何种电荷；(2)求匀强电场的电场强度大小；(3)求小球从O点抛出到落回z轴的过程中电势能的改变量19.（2020年佛山二模）如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E1的场强方向竖直向下，PT下方的电场E0的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为q、质量为m的粒子.从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场E0中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E1后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为L/2.不计粒子的重力及它们间的相互作用.试求：（1）电场强度E0与E1；ACE0v0PBE1DT2LQMR（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离有什么规律？参考答案考点整合考点1.;考点3.初速为v0的匀速直线运动; 初速为零的匀加速直线运动新题导练1-1.ABC电容器充电后与外电路断开，两极板电量不变，根据电容C的定义式和决定式可知ABC正确，绳子剪断后，小球做匀加速直线运动1-2. D电容器始终与电源相连，U不变，a振动过程中，极板距离变化，E变化，Q变化，产生交变电流，故D正确2-1.解：(1)小球做匀减速运动，小车做匀加速运动，.(2)系统的电势能最大时，小球相对小车静止，设此时小车与小球的速度均为v，由动量守恒，得,即则系统的最大电势能为。小球位移为小车位移为2-2.解析：（1）第一个质点在极板间做类平抛运动 解得质点的初速 （2）第二个质点射入极板后，在时间内做类平抛运动，有 A板电势突然变为后，质点所受电场力与重力平衡，做匀速直线运动，经过时间恰好射出极板，则 由以上各式解得 抢分频道1.限时基础训练卷1.C电容器的电容C由电容器本身决定，与电压U和所带电荷量Q无关，根据可知，选项C正确2.CD.无论两极板距离如何变化，两极板始终和电源相连，电势差不变，根据动能定理可知v不变，两极板距离增大时，时间将增大3.C.电容器的带电量Q不变，B板上移，C减小，U增大4.AD磁感应强度的定义式是,电场强度的定义式是5.BCD偏转位移可知tatbtc,6.D电子在O点的所受电场力水平向左，故D正确7.BD根据xv0t得出时间相同，从而进一步分析得出BD选项正确8.D粒子在电场中做类平抛运动，沿场强方向有，由可得9.解析：（1）极间场强（2）粒子在极板间运动的加速度 （3）由，得, 10解析：（1）电子穿出时动能为Ek，对电子在运动全过程内动能定理：解得： （2）设板长为L，电子离开加速电场时速度为v0，则 电子在偏转电场中飞行时间偏转距离由以上几式得2基础提升训练11.A CD.电场力做负功为qEs，合外力做负功0.8qEs12.ACD偏转位移，灵敏度 13.解析：（1）Lv0t，L所以E，qELEktEk， 所以EktqELEk5Ek（2）若粒子由bc边离开电场，Lv0t，vyEkEkmvy2，所以E，若粒子由cd边离开电场，qELEkEk，所以E14.解析：（1）当B板上聚集了n个射来的电子时，两板间的电压，其内部场强;（2）设最多能聚集n个电子，此后再射入的电子未到达B板时速度已减为零，由 则有： 得 (3) 第一个电子在两板间作匀速运动，运动时间为t1=d/v0，最后一个电子在两板间作匀减速运动，到达B板时速度为零，运动时间为t2=2d/v0，二者时间差为t=t2-t1=d/v015解析：设电源电压为U,粒子初速为V0,极板长为L(1) 当S闭合时,两板间电压U不变设向下移动的距离为x1L=V0t2解得x1=d(2)S打开,电容器带电量不变,改变距离,场强E不变,设向下移动距离为x2解得x2=3d3.能力提高训练16.（1）根据动能定理得 解得 （2）设由A到B的时间为t，则解出AB水平位移， 17.解析： 设离子带电量为q，质量为m，经电场加速后的速度为v，则2离子飞越真空管，在AB做匀速直线运动，则Lvt1解得离子荷质比离子在匀强电场区域BC中做往返运动，设加速度为a，则qEma， t2解得离子荷质比 或两离子射出A点后再返回到B点的时间为t和，则， ttt要使t0，则须 所以 E18解析:(1）小球带负电(2）小球在y方向上做竖直上抛运动，在x方向做初速度为零的匀加速运动，最高点Q的坐标为(1. 6，3.2)，则又(3）由可解得上升阶段时间为，所以全过程时间为x方向发生的位移为由于电场力做正功，所以电势能减少，设减少量为E，代入数据得E=qEx=1.6 J19.解析：（1）设粒子经PT直线上的点R由E0电场进入E1电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t1与t2，到达R时竖直速度为vy，则：由、及得： 上述三式联立解得：, 即(2)由E12E0及式可得t12t2.因沿PT方向粒子做匀速运动，故P、R两点间的距离是R、T两点间距离的两倍.即粒子在E0电场做类平抛运动在PT方向的位移是在E1电场中的两倍.设PQ间到P点距离为y的F处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，若粒子第一次达PT直线用时t，水平位移为x，则 粒子在电场E1中可能做类平抛运动后垂直CD边射出电场，也可能做类斜抛运动后返回E0电场，在E0电场中做类平抛运动垂直CD水平射出，或在E0电场中做类斜抛运动再返回E1电场.若粒子从E1电场垂直CD射出电场，则 （n0、1、2、3、）解之得：（n0、1、2、3、）若粒子从E0电场垂直CD射出电场，则 （k1、2、3、） （k1、2、3、）即PF间的距离为其中n0、1、2、3、，k1、2、3、或 （n1、2、3、）解之得：（n1、2、3、）即PF间的距离为 （n = 1，2，3，）本题也作出场强方向的v-t图象求解.
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