力学竞赛资料运动学课件

力学竞赛资料运动学 图示曲线为一旋轮线，其参数图示曲线为一旋轮线，其参数R为已知。图中为已知。图中M点处的曲率半点处的曲率半径为径为 .)cos()sin(tRyttRx 12 tRy时时，tRvtRvyx sin)cos(1时，时，Ry tRatRayx cossin22Rvvyx 02yxaRa, vaR22 222vaaxn力学竞赛资料运动学答案：答案：1. v/l 2. A、B的轨迹均为旋的轨迹均为旋轮线（或称摆线、圆滚线）轮线（或称摆线、圆滚线） 3. mv2/2l 解题思路同解题思路同“杆的下落杆的下落.doc”力学竞赛资料运动学题：在录音机或连续印刷机中，磁带（或纸张）以匀速题：在录音机或连续印刷机中，磁带（或纸张）以匀速 v 运动。运动。设以设以 r 表示磁带盘（纸筒）的半径，表示磁带盘（纸筒）的半径， b 表示磁带的厚度。试导出表示磁带的厚度。试导出磁带盘角加速度的表达式。磁带盘角加速度的表达式。 解：设初始时纸筒半径为解：设初始时纸筒半径为r 0，在任一瞬时，在任一瞬时t ,纸筒半径为纸筒半径为 r ，角速度为，角速度为 ，纸筒，纸筒已转过的圈数为已转过的圈数为n，(不一定为整数）则有不一定为整数）则有因因 v 和和 b 为常量，故有为常量，故有又因又因所以所以角加速度角加速度力学竞赛资料运动学巩固题：巩固题：一张致密光盘（一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径）音轨区域的内半径R1=2.2cm，外，外半径为半径为R2=5.6cm，径向音轨密度，径向音轨密度 N=650条条/mm。在。在 CD唱机内，唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以光盘是以v=1.3m/s的恒定速度运动的。问：（的恒定速度运动的。问：（1）这张光盘全部）这张光盘全部放音时间是多长？（放音时间是多长？（2）激光束到达离盘心）激光束到达离盘心R=5.0cm处时，光盘处时，光盘转动的角速度和角加速度是多少？转动的角速度和角加速度是多少？答：（答：（1）69.4 min （2）srad26 23srad10313. 力学竞赛资料运动学题题AC、BD两杆各以匀角速度两杆各以匀角速度 分别绕距离为分别绕距离为l的的A、B轴作轴作定轴转动，转向如图。小圆环定轴转动，转向如图。小圆环M套在套在 AC及及 BD杆上。在某一杆上。在某一瞬时瞬时 =b b=60，求小圆环，求小圆环 M在任意瞬时的速度和加速度。在任意瞬时的速度和加速度。力学竞赛资料运动学题题AC、BD两杆各以匀角速度两杆各以匀角速度 分别绕距离为分别绕距离为l的的A、B轴作定轴转动，转向如图。轴作定轴转动，转向如图。小圆环小圆环M套在套在 AC及及 BD杆上。在某一瞬时杆上。在某一瞬时 =b b=60，求小圆环，求小圆环 M在任意瞬时的速在任意瞬时的速度和加速度。度和加速度。av1ev1rv2ev2rvarerevvvvv221160120sin/)sin(/lAM 60sin/sin/lBM 向垂直于向垂直于AC方向投影：方向投影：解解1：2212321reevvv322 coslvr322 sinlve322222lvvvrea 方向：与方向：与x轴正向之间的夹角为轴正向之间的夹角为2 +60)sin(cos 31ve1lAM求得：求得：同理可求加速度。同理可求加速度。力学竞赛资料运动学题题AC、BD两杆各以匀角速度两杆各以匀角速度 分别绕距分别绕距离为离为l的的A、B轴作定轴转动，转向如图。小轴作定轴转动，转向如图。小圆环圆环M套在套在 AC及及 BD杆上。在某一瞬时杆上。在某一瞬时 =b b=60，求小圆环，求小圆环 M在任意瞬时的速度在任意瞬时的速度和加速度。和加速度。解解2：因因所以所以 M点的运动轨迹为一圆周，圆心为点的运动轨迹为一圆周，圆心为O不难算出圆的半径不难算出圆的半径因因AOE为空间固定直线，所以为空间固定直线，所以力学竞赛资料运动学Av ARBBvOAvARBBvO力学竞赛资料运动学smvvvvveAear/.315022221 RAvABBvOevavev )(/ smvOBOAv150Be)(/ smRv50B rv 8131.)/(taneavv 力学竞赛资料运动学smvvvvvABear/.05122222 RAvABBvOevav)(/ smvv10Ae)(/ smRvva50B rv 3111.)/(tanaevvb b力学竞赛资料运动学 RAvABBvO,/.smvr31501 813. ,/.smvr0512 311.b b力学竞赛资料运动学AvABROxy动点为动点为A，动系固结在，动系固结在B车时：车时：力学竞赛资料运动学AvABBvROxy动点为动点为B，动系固结在，动系固结在A车时，车时，力学竞赛资料运动学题：题：设设Oxy是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻初始时刻CD杆沿杆沿z轴；轴；OB杆长为杆长为a，沿，沿x轴正方向；轴正方向；AB杆长为杆长为l，开，开始时先与始时先与z轴平行，绕轴平行，绕x轴负方向转动轴负方向转动角后，把这三根杆件焊成一角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图所示。个整体，如图所示。 假设在假设在yz平面内有一张纸存在，为了能让平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕系统持续地绕z轴以匀角速度轴以匀角速度转动，需要在纸上挖出某种形状的转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让空隙让AB杆通过（这里只考虑杆通过（这里只考虑AB杆）。杆）。 （1）如果）如果a=0，求空隙的函数表达式，求空隙的函数表达式0，并，并画出示意图。画出示意图。 （2）如果）如果a0，求空隙的函数表达式，求空隙的函数表达式a，并，并画出示意图。画出示意图。0与与a有何关系？有何关系？ （3）当）当a0时，设时，设P是是AB杆与杆与yz平面的交点，平面的交点，当点当点P位于位于AB杆中点且杆中点且yP0时，如果要时，如果要求求P点的速度和加速度，你如何考虑？点的速度和加速度，你如何考虑？取取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s，速度和加速度是多少？速度和加速度是多少？ 初始时刻的系统位置初始时刻的系统位置力学竞赛资料运动学力学竞赛资料运动学力学竞赛资料运动学（3）设）设P是是AB杆与杆与yz平面的交点，当点平面的交点，当点P位于位于AB杆中点且杆中点且yP0时，求时，求P点的速度和加速度？点的速度和加速度？取取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s 力学竞赛资料运动学（3）求）求P点的加速度？取点的加速度？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s 力学竞赛资料运动学分离变量积分，易得：分离变量积分，易得：轨迹为对数螺线轨迹为对数螺线题题. 三名舞蹈演员在舞台上（视作平面上三点）组成一正三角形。三名舞蹈演员在舞台上（视作平面上三点）组成一正三角形。音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率 v 缓慢前进。缓慢前进。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。解解: 设三名演员初始时位于设三名演员初始时位于A0、 B0、 C0 ，他们之间的距离为，他们之间的距离为a 任意瞬时他们的位置如图。知，三角形任意瞬时他们的位置如图。知，三角形ABC仍是正三角形仍是正三角形动系：绕动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同动点：动点：A绝对运动：未知曲线，但绝对运动：未知曲线，但va的大小和方向均已知的大小和方向均已知牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动相对运动：直线运动相对运动：直线运动xyrv23vr x yevavrv rv21ve 30err力学竞赛资料运动学动系：绕动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同动点：动点：Axy x yteaCaneanaa(*)Crtenetanaaaaaaa ？0OAve2？0rv 2式（式（*）向）向x轴投影轴投影nenaaa 30sin OAvOAvavvenea22222230 sinOA2 力学竞赛资料运动学题题. 绕铅直轴以等角速度绕铅直轴以等角速度 缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服从牛顿运动定律。设实验者站立处从牛顿运动定律。设实验者站立处A距底盘旋转中心距底盘旋转中心O的距离的距离为为 r ，请你替他设计一个抛球的初速度（大小，请你替他设计一个抛球的初速度（大小vO，方向与，方向与OA的夹角为的夹角为 ），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写出出vO ， 应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑小球在铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上小球在铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上运动）。运动）。 力学竞赛资料运动学解解: (1) 在定坐标系中考虑问题。小球在定坐标系中考虑问题。小球以绝对速度以绝对速度 v 沿直线沿直线 A B运动，如果运动，如果小球到达小球到达 B时，实验者也随底盘沿着时，实验者也随底盘沿着 弧线到达弧线到达B，则小球打在实验，则小球打在实验者身上。者身上。 解解: (2) 条件为条件为 给定给定 ，即可求出，即可求出v ，即问题有多，即问题有多解。当给定解。当给定v, 时，可用速度合成定理时，可用速度合成定理求相对速度求相对速度vO及方向及方向 。(3)小球相对轨迹示意如图小球相对轨迹示意如图. 力学竞赛资料运动学题：题：如图如图,AB杆的杆的A端沿圆槽端沿圆槽O运动运动,B端与轮轴铰接。轮轴沿直端与轮轴铰接。轮轴沿直线轨道只滚不滑。圆槽线轨道只滚不滑。圆槽O半径为半径为R，轮轴内外半径分别为，轮轴内外半径分别为R1、 R2 。AB长为长为L。图示瞬时，已知。图示瞬时，已知A点速度点速度vA，AB杆中点杆中点M的切向的切向加速度为零。则此瞬时：加速度为零。则此瞬时： （l） P 点的速度点的速度vP大小为大小为 。 （2）M 点的加速度大小为点的加速度大小为 。力学竞赛资料运动学力学竞赛资料运动学力学竞赛资料运动学题题. 在运动学中，轨迹是个重要概念，但简单机构也可能有复杂的在运动学中，轨迹是个重要概念，但简单机构也可能有复杂的轨迹曲线。如图，小齿轮轨迹曲线。如图，小齿轮O1在大齿轮在大齿轮O内作纯滚动。其中大齿轮半内作纯滚动。其中大齿轮半径为径为R，小齿轮半径为，小齿轮半径为r,E是小齿轮上的偏心点，偏心距为是小齿轮上的偏心点，偏心距为e。求小齿。求小齿轮上偏心点轮上偏心点E的轨迹。并讨论轨迹的特点。的轨迹。并讨论轨迹的特点。解：解：力学竞赛资料运动学 讨论：讨论：（a）若）若x x为无理数，则轨迹曲线不封闭；为无理数，则轨迹曲线不封闭；（b）若）若x x为有理数，则轨迹曲线封闭。进一步，设为有理数，则轨迹曲线封闭。进一步，设 ，m，n为不可约自然数，则曲线的周期为为不可约自然数，则曲线的周期为2n 。或小齿轮转。或小齿轮转n 圈后曲线圈后曲线重合。并且曲线有重合。并且曲线有m个尖点或花瓣；个尖点或花瓣；（c）h h= 1时曲线有尖点。时曲线有尖点。 h h 1时尖点变为圆凸，时尖点变为圆凸， h h l时曲线的尖时曲线的尖点变为花瓣。点变为花瓣。 h h = 0时曲线为圆；时曲线为圆；（d） x x =2， h h =1时曲线退化为直线。时曲线退化为直线。 x x =1，曲线退化为一个点。，曲线退化为一个点。nmx x力学竞赛资料运动学 运动学反问题：运动学反问题：1、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论d）2、设计一个机构，使其能画出一个椭圆、设计一个机构，使其能画出一个椭圆 （哈工大理论力学第（哈工大理论力学第7版例版例5-1）3、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）：、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）： （可参考上例讨论（可参考上例讨论b） 2sinar 力学竞赛资料运动学力学竞赛资料运动学