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8 8. .4 4直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质-2-知识梳理双基自测231自测点评1.直线与平面平行的判定与性质 a= a,b,ab a a,a,=b a= ab -3-知识梳理双基自测自测点评2312.面面平行的判定与性质 = a,b,ab=P,a,b ,=a,=b -4-知识梳理双基自测自测点评2313.常用结论(1)两个平面平行的有关结论垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则.平行于同一平面的两个平面平行,即若,则.(2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.2-5-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-6-知识梳理双基自测自测点评234152.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是(填序号).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1. 答案 答案关闭-7-知识梳理双基自测自测点评234153.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线是. 答案 答案关闭DC,D1C1,A1B1-8-知识梳理双基自测自测点评234154.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是. 答案 答案关闭平面ABC、平面ABD-9-知识梳理双基自测自测点评234155.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件时,有MN平面B1BDD1. 答案解析解析关闭由题意易知平面HNF平面B1BDD1知,当M点满足在线段FH上有MN平面B1BDD1. 答案解析关闭M线段FH-10-知识梳理双基自测自测点评1.推证线面平行时,一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内.2.推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面.3.利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时,必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行.-11-考点1考点2考点3例1(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则(2)设m,n表示不同直线,表示不同平面,则下列结论中正确的是()A.若m,mn,则nB.若m,n,m,n,则C.若,m,mn,则nD.若,m,nm,n,则n思考如何借助几何模型来找平行关系? 答案解析解析关闭(1)A中,m与n可相交、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若,仍然可满足mn,m,n,故C错误;故D正确.(2)A错误,n有可能在平面内;B错误,平面有可能与平面相交;C错误,n也有可能在平面内;D正确,易知m或m,若m,又nm,n ,n,若m,过m作平面交平面于直线l,则ml,又nm,nl,又n ,l,n. 答案解析关闭 (1)D(2)D-12-考点1考点2考点3解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.-13-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是()A.bB.bC.b或bD.b与相交或b或b(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则;若,l,m,则lm;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0 答案解析解析关闭(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与相交或b或b时,均可满足直线ab,且直线a平面的情况,故选D.(2)中,当与相交时,也能存在符合题意的l,m;中,l与m也可能异面;中,l,l,=mlm,同理ln,则mn,正确. 答案解析关闭(1)D(2)C-14-考点1考点2考点3例2(2016全国丙卷,文19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.思考证明线面平行的关键是什么?-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3解题心得证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法:(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线;(2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;(3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.-18-考点1考点2考点3对点训练对点训练2如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABCD,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点.(1)求证:AM=CM;(2)若N是PC的中点,求证:DN平面AMC.-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3(2)如图,连接DB交AC于点F.取PM的中点G,连接DG,FM,则DGFM,又DG平面AMC,FM平面AMC,DG平面AMC.连接GN,则GNMC.又GN平面AMC,MC平面AMC.GN平面AMC.又GNDG=G,平面DNG平面AMC.又DN平面DNG,DN平面AMC.-21-考点1考点2考点3例3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.思考证明面面平行的常用方法有哪些?-22-考点1考点2考点3解 (1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.-23-考点1考点2考点3解题心得判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)面面平行的传递性(,);(3)利用线面垂直的性质(l,l ).-24-考点1考点2考点3对点训练对点训练3如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC,且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.-25-考点1考点2考点3(1)证明 因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明 因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,平面VAB平面ABC=AB,且OC平面ABC,所以OC平面VAB,所以平面MOC平面VAB.-26-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点31.平行关系的转化方向如图所示:2.直线与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.-28-考点1考点2考点31.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.-29-审题答题指导如何作答平行关系证明题典例(12分)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.-30-规范解答(1)如图,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以COBD.(1分)又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC,(2分)因此BDEO.(3分)又O为BD的中点,所以BE=DE.(5分)-31-(2)证法一:如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MNBE.(6分)又MN平面BEC,BE平面BEC,所以MN平面BEC.(7分)因为ABD为正三角形,所以BDN=30.又CB=CD,BCD=120,所以CBD=30,所以DNBC.(9分)因为DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDN=N,故平面DMN平面BEC,(11分)因为DM平面DMN,所以DM平面BEC.(12分)-32-证法二:如图,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,BCD=120,所以CBD=30.(7分)因为ABD为正三角形,所以ABD=60,ABC=90.因此AFB=30,所以AB=12AF.(9分)又AB=AD,所以D为线段AF的中点.(10分)连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DMEF.(11分)因为DM平面BEC,EF平面BEC,所以DM平面BEC.(12分)-33-答题模板证明线面平行问题的答题模板(一)第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;第二步:证明线线平行;第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行;第四步:反思回顾,检查关键点及答题规范.证明线面平行问题的答题模板(二)第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面;第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行;第三步:证明所作平面与所证平面平行;第四步:转化为线面平行;第五步:反思回顾,检查答题规范.-34-反思提升立体几何解答题的解题过程要表达准确、格式要符合要求,每步推理要有理有据,不可跨度太大,以免漏掉得分点.本题易忽视DM平面EBC,造成步骤不完整而失分.
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