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第2节振动的描述 思维缴活在研究一个物体的振动是否为简谐运动时，可以通过作出振动图象来判断.如图1-2-1所示，在弹簧振子的小球上安置一记录用的毛笔P，在下面放一张白纸，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，毛笔P就在纸带上画出一条振动曲线.为什么这样画出的曲线是振动曲线？图1-2-1提示：因为匀速拉动纸带时，纸带的位移与时间成正比，即x=vt,因此，一定的位移就表示一定的时间.所以拉动纸带时，就可以表示不同的时刻振子离开平衡位置的距离，因而可以说毛笔所画下的痕迹就是弹簧振子的振动图象.自主整理一、振动特征的描述1.振幅：振幅是物体离开_的最大位移.振幅是标量，振幅与位移的_在数值上相等，但二者不同，因为位移是_.2.全振动：振子以相同的速度相继两次通过_所经历的过程.3.周期：做简谐运动的物体完成一次_所需要的时间叫做振动的周期.它是表示_的物理量，周期越长，表示物体振动得越_；周期越短，表示物体振动得越_.4.频率：振动物体在_内完成全振动的次数，叫做振动的频率.它是表示_的物理量，频率越大，表示物体振动得越_；频率越小，表示物体振动得越_.周期与频率的关系是：_或_.5.固有周期和固有频率，物体振动的周期和频率只是由的_属性决定的，与其他因素无关，又称固有周期和固有频率.二、简谐运动的图象描述1.图象特点：简谐运动的图象是一条_曲线，表示一个质点在_时刻相对平衡位置的位移，它只是反映了质点的_随_的变化规律，不是质点的运动轨迹.2.图象信息：如图1-2-2所示，从图象上可知_和_.还可知道任一刻度的_大小和方向，借助图象信息，还可以判断不同时刻的_和_的方向和大小关系.图1-2-2三、简谐运动的公式表达简谐运动的位移随时间变化的函数关系是：_，式中A代表_，代表_，（t+0）代表_，若t=0，0代表_.高手笔记1.简谐运动中，物体的振幅、位移、路程的关系振幅和位移的区别：（1）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对平衡位置的位置变化；对某一简谐运动而言，振幅为一定值，位移时刻改变.（2）振幅是表示振动强弱的物理量，位移表示的是某一时刻振动质点相对平衡位置的位置变化.（3）振幅是标量，位移是矢量.（4）振幅在数值上等于最大位移的绝对值.振幅和路程的关系：物体在一个周期内通过的路程一定等于振幅的四倍；在半个周期内通过的路程一定等于振幅的两倍.物体在T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅.只有当T的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，T内的路程才等于振幅.2.固有周期和固有频率的含义“固有”的含义是“仅由振动系统本身的性质”决定，跟外部因素无关.如弹簧振子的周期只取决于振子的质量和弹簧的劲度系数，与振动的振幅无关，并不是振幅越大，周期越大.而振幅的大小，除跟弹簧振子有关之外，还跟使它起振时外力对振子做功的多少有关.因此，振幅不是“固有”的.同一个弹簧振子，无论是在地球上，还是在其他星球上，在不是完全失重的人造卫星中，无论是水平放置，还是竖直悬挂，T和f均不变.名师解惑1.怎样理解简谐运动的相位？剖析：简谐运动的表达式x=Asin(t+0)中，=t+0表示简谐运动的相位，当t=0时的0称为初相位，它代表了做简谐运动的质点此时正处于一个运动周期中的哪个状态.例如：图1-2-3中实线和虚线分别表示两个简谐运动的图象，纵坐标的最大值是振动的振幅，横坐标轴上方标出时间，下方标出相位，相位的数值就是角度，与三角函数相同.由图可知两个振动的振幅相同，周期相同，但初相位不同.初相位是t=0时刻的相位，虚线是正弦函数曲线，t=0时刻的相位为0.实线与虚线在横坐标上相差一段距离，t=0时刻的相位为.实线所表示的振动比虚线所表示的振动落后T/4，相位上落后.图1-2-3又如：两个简谐运动公式：x1=3asin(4bt+)和x2=9asin(8bt+)，其中它们的初相位分别是1=,2=,则t=0时的相位差=2-1=,这说明第二个振动比第一个振动提前.2.如何利用简谐运动图象确定振子某一时刻的位移？剖析：简谐运动的图象是正弦曲线，在图1-2-4中，t=时，位移x是多大呢？由正弦曲线的特点可知，对应,A对应函数值，对应,则x对应函数值A，即x=0.707A.若振子的位移x=,它又对应哪些时刻呢？由图象可知，t=、T、T等时刻，x均等于.图1-2-43.关于如何利用简谐运动图象确定速度方向，并比较不同时刻的速度大小？剖析：如图1-2-5所示，例如欲确定质点t1时刻的速度方向，取大于t1一小段时间的另一时刻t1，并使t1-t1极小，考查质点t1时刻的位置P1（t1,x1），可知x1x1,即P1位于P1的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明t1时刻质点速度方向沿x轴的负方向.同理可判定t2时刻质点沿x轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动.图1-2-5若x1x2,由简谐运动的对称特点，还可判断t1和t2时刻对应的速度大小关系为v1v2.由简谐运动的图象还可比较不同时刻加速度的大小，想一想，为什么？讲练互动【例题1】弹簧振子从距平衡位置5 cm处由静止释放，4 s 内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为_cm，振动周期为_s，频率为_Hz，4s末振子的位移大小为_cm，4 s内振子运动的路程为_cm；若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，则振子的周期为_s.解析：根据题意，振子从距平衡位置5 cm处由静止开始释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm，由题设条件可知，振子在4 s内完成5次全振动，则完成一次全振动的时间为0.8 s，即T=0.8 s；又因为f=，可得频率为1.25 Hz.4 s内完成5次全振动，也就是说振子又回到原来的初始点，因而振子的位移大小为5 cm，振子一次全振动的路程为20 cm，所以5次全振动的路程为100 cm，由于弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其固有周期与振幅大小无关，所以从距平衡位置2.5 cm处由静止释放，不会改变周期的大小，周期仍为0.8 s.答案：50.8 1.25 5 100 0.8绿色通道本题主要考查对描述振动的三个物理量的认识和理解以及位移和路程的区别.根据一次全振动确定周期，根据周期或单位时间内完成全振动的次数确定频率.简谐运动中的位移是相对平衡位置而言的，本题中容易把释放处当作位移起点.求振动物体在一段时间内通过路程的依据是：（1）振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅，则在n个周期内路程必为n4A.（2）振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅.（3）振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅，还可能小于一个振幅.只有当T/4的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，T/4内的路程才等于一个振幅.计算路程的方法是：先判断所求的时间内有几个周期，再依据上述规律求路程.变式训练1如图1-2-6所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO=OC=5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是（ ）图1-2-6A.振子从B经O到C完成一次全振动B.振动周期是1 s，振幅是10 cmC.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm解析：振子从BOC仅完成了半次全振动，所以周期T=21 s=2 s,振幅A=BO=5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A=20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.答案：D2周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为（ ）A.15次，2 cm B.30次，1 cm C.15次，1 cm D.60次，2 cm解析：振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次（除最大位移处），而每次全振动振子通过的路程为4个振幅，半分钟共完成了15次全振动，所以经平衡位置的次数为30次，振幅A=cm=1 cm,故选B.答案：B【例题2】图1-2-7所示为质点P在04 s内的运动图象，下列叙述正确的是（ ）图1-2-7A.再过1 s，该质点的位移是正的最大 B.再过1 s，该质点的速度沿正方向C.再过1 s，该质点的加速度沿正方向 D.再过1 s，该质点加速度最大解析：振动图象描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况.依题意，再经过1 s，将振动图象延伸到正x最大处.这时质点的位移为正的最大，故A对.因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反，所以此时回复力最大且方向为负向，故振动物体的加速度最大且方向为负向.此时振动物体的速度为零，无方向可谈，故B、C错，D对.答案：AD绿色通道理解简谐运动的图象是解决这类问题的关键，这种往复运动的位移图象，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在xt坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况振动图象.振动图象随时间的延续继续向外延伸.变式训练3一个质点经过平衡位置O在A、B间做简谐运动，如图1-2-8（a），它的振动图象如图（b）所示，设向右为正方向，则：图1-2-8（1）OB=_cm.（2）第0.2 s末质点的速度方向是_.（3）第0.7 s时，质点位置在_点与_点之间.（4）质点从O运动到B再运动到A所需时间t=_s.（5）在4 s内完成_次全振动.解析：由图题（b）的信息可知，在图（a）中t=0时刻，质点从B向O振动，且质点的振幅OB=5 cm，周期是0.8 s.由此可知：0.2 s末质点正处于平衡位置且正在向负方向振动.0.7 s末质点的位移是正值，所以正处于O点和B点之间.质点从O运动到B再运动到A用的时间是T，为0.6 s,4 s内完成的全振动的次数是5次.答案：（1）5 (2)由O指向A （3）O B （4）0.6 （5）54甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动情况.（1）甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图129（a）中画出甲观察到的弹簧振子的振动图象.已知经过1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为5 cm（设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5 s）.（2）乙在甲观察3.5 s后，开始观察并记录时间，试画出乙观察到的弹簧振子的振动图象.画在图1-2-9（b）上.图1-2-9解析：由题意知，振子的振动周期T=2 s，振幅A=5 cm.根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向-y方向运动，经t=0.5 s，达负向最大位移.因为t=3.5 s=1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过时间t=T的状态相同，所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处.（1）画出的甲观察到的振子振动图象如图（a）所示.（2）画出的乙观察到的振子的振动图象如图（b）所示.答案：见解析【例题3】一弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，则振子的振动频率为（ ）A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz解析：振子经a、b两点的速度相同，根据振子做周期性运动的特点可知，a、b两点对平衡位置O（如图1-2-10所示）是对称的.又由从b回到a的最短时间为0.4 s知，振子振动到b点后是第一次回到a点，且仍不是振子的最大位移.设图中c、d为最大位移处，则振子bcb历时0.2 s，同理振子由ada也应历时0.2 s，故振子周期应为0.8 s，由周期和频率关系不难确定频率为1.25 Hz，故选B.图1-2-10答案：B绿色通道简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，在图中ad段与bc段相对O点是对称的，物体由a到d(或由d到a)通过ad段所用的时间与物体由b到c(或由c到b)通过bc段所用的时间相等.解决这类问题一定要抓住简谐运动的对称特点.变式训练5一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，如图1-2-11所示，过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（ ）图1-2-11A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s解析：根据题意，由振动的对称性可知，AB的中点O为平衡位置，如图所示，质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=0.5 s=0.25 s,从B到最右端D的时间tBD=0.5 s=0.25 s，所以质点的周期为T=4(tOB+tBD)=2 s.答案：C6一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？解析：如图所示，设M为O右侧的任一位置，A、B分别为最大位移处，若t=0时质点向右通过M，则tOM=0.13 s,tMB=0.1 s=0.05 s，则T=4（tOM+tMB）=0.72 s;若t=0时，质点向左运动，则tOA+tAM=0.13 s，tMB=0.1 s=0.05 s，则tOA+tAM+tMB=T,T=0.24 s.答案：0.72 s,0.24 s【例题4】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t=0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程.解析：简谐运动振动方程的一般式为x=Asin(t+).根据题给条件有：A=0.08 m,=2f=.所以x=0.08sin(t+)m.将t=0时x=0.04 m代入得0.04=0.08sin，解得初相=或=.因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取=.所求的振动方程为x=0.08sin(t+)m.答案：x=0.08sin(t+)m绿色通道简谐运动的表达式x=Asin(t+)中的每个物理量都要清楚，振动的初相跟起始时刻振子向正方向还是负方向运动有关，若题中t=0时物体向x轴正方向运动，则初相应取，表达形式应为x=0.08sin(t+)m，所以对应不同的初相，同一质点的振动图象也不同.注意：t=0时的位移不一定是最大位移，最大位移的大小应等于振动的振幅.变式训练7物体A做简谐运动的位移xA=3sin(100t+)m，物体B做简谐运动的位移xB=5sin(100t+)m.比较A、B的运动（ ）A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm,B的振幅是10 mB.周期是标量，A、B的周期相等为100 sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A的相位始终超前B的相位解析：振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，故A错.A、B的周期T=s=6.2810-2 s，故B错.因Ta=Tb，故fa=fb;故C对.=A-B=，故D对.答案：CD体验探究【问题1】在描绘简谐运动的图象这一实验中，匀速拖动纸带和非匀速拖动纸带有何不同？导思：从振动图象的物理意义结合运动规律考虑.探究：简谐运动的图象描述做简谐运动的物体的位移随时间的变化规律，若纸带做匀速运动，则纸带的位移与时间满足s=vt,v是恒量，则一定位移与一定时间对应，即相同时间内位移相等，所以可用纸带通过的位移表示时间.同样，若纸带做非匀变速运动，则s与t不再有以上关系，所以纸带上描绘出的图象不再是正（或余）弦曲线.也可尝试让纸带做自由落体运动，看一下描绘出的图象是怎样的.【问题2】弹簧振子对振动有何影响？导思：用实验探究.探究：用不同质量的弹簧振子做简谐运动的实验，观察振动快慢有何变化，结果会发现，质量大的振子振动得慢，质量小的振子振动得快.再换用不同的弹簧，用相同质量的振子做实验，会发现振动快慢不一样，劲度系数k大的弹簧振动得快，k小的振动得慢.教材链接【迷你实验室】（课本第9页）毛笔和矿泉水瓶摆动所形成的图象是简谐运动的图象.这是由于摆动的物体沿y轴摆动时做的是简谐运动，在x轴方向上匀速拉动白纸，这样就可以记录每一时刻物体的位置了，因而可以说毛笔和水在白纸上留下的痕迹就是振动图象.由于毛笔在白纸上留下痕迹的同时受到了阻力，使毛笔的实际摆动并不是理想的简谐运动，画出的图象有一定的误差，而矿泉水由于水的流出也会给图象的绘出带来误差，但这种误差较小，所以矿泉水瓶摆动形成的图象更接近简谐运动图象.
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