高二数学第一章 常用逻辑用语知识精讲 人教实验版(B)

高二数学第一章 常用逻辑用语知识精讲 人教实验版(B)一. 本周教学内容：选修21 第一章 常用逻辑用语1. 1 命题与量词1. 2 基本逻辑联结词1. 3 充分条件、必要条件与命题的四种形式二. 教学目的1、掌握命题的概念，会判断命题的真假。2、理解全称量词与存在量词的意义，会用符号语言表示全称命题和存在性命题，并能判断其真假。能正确地对含一个量词的命题进行否定。3、掌握逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。4、理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。5、了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系。三. 教学重点、难点重点：理解并掌握基本逻辑联结词“或”“且”“非”，充分条件、必要条件与四种命题之间的关系。难点：对一些命题真假的判定；对全称命题和存在性命题的否定。四. 知识分析（一）命题1. 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，能判断真假的语句叫命题（proposition）。如：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；两直线平行则斜率相等。说明：（1）要判断句子是否是命题。首先，要看给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。不能判断真假的语句，就不能叫命题。例如“我是帅哥”、“”、“今天会下雨吗？”都不能叫命题。由于“帅”没有界定，就不能判断“我是帅哥”的真假。由于x是未知数，也不能判断“”是否成立。值得注意的是，在数学或其他科学技术中的一些猜想，虽然目前可能不能判断真假，但以后一定会判断出来，或我们已经非常明确该猜想只能有真假两种结果（即只存在真假两种情形），所以我们认为该猜想是命题。（2）还有一种语句，如“x5”、“x21=0”等，语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句的真假的。这种含有变量的语句叫做开句（条件命题）。开句不是命题。2、一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p，q，r，3、判断为正确的命题叫做真命题（true proposition）。如“经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”。判断为不正确的命题叫做假命题（false proposition）；如“两直线平行则斜率相等”。 4、关于命题的概念，我们不要求同学们在判断一个语句是否是命题上下很多功夫，只要同学们能准确地判断一个命题的真假就行了。下面是有关命题的应用的题目，希望同学们重视：已知命题p:|x2x|6，q:xZ且p假q真，求x的值。（二）量词本节我们重点理解全称量词与存在量词的意义 ，掌握判断全称命题与存在性命题的真假的方法。学习时，我们首先要注意“开句”。开句，指含有变量x的语句。由于我们不知道x代表什么数，无法判断它们的真假，因而它们不是命题。但是，当我们赋予变量x某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句又变成可以判定真假的语句，从而成为命题。由于我们给变量赋予的值或条件有不同的特点，使得原来的开句在变成命题后分为全称命题和存在性命题两种。1、全称量词与全称命题观察命题p：对所有实数x，x20； q：对所有的正数a，|a| = a；在上面的命题中，短语“所有”在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”。表示。含有全称量词的命题叫做全称命题。说明：（1）全称命题就是陈述某集合M的所有元素都具有某种性质的命题。一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为： （2）与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等。由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法。注意：有时省去全称量词，仍为全称命题。例如：“正方形都是矩形”，省去了全称量词“所有”。因此，要结合具体问题做出正确的判断。（3）判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p (x)成立，一般用代数推理给出证明。如果一个全称命题为真命题，那么给出的限定集合中的每一个元素x都具有性质p (x)。如我们判断命题“”的真假，需验证每一个实数x，从而结论是假命题。2、存在量词与存在性命题观察命题p：存在实数x，使x20； q：至少有一个实数a，使|a| = a；在上面的命题中，短语“存在”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。说明：（1）存在性命题就是陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某性质的命题。一般地，设q (x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q (x)”的命题，用符号简记为：。 （2）“有一个”“至少有一个”“存在”“有些”等都是等价的说法。由于自然语言的不同，同一个存在性命题可以有不同的表述方法。 （3）要判断一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x=x0，使p (x0)成立即可；如果要证明存在性命题为假，就要证明在限定集合M中的每一个x，使p(x)不成立。（三）基本逻辑联结词1、且含义：相当于“并且”“及”“和”。一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题（复合命题），记作，读作“p且q”。如：6是3的倍数且是2的倍数。由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A和集合B的交集：2、或含义：相当于“或”。一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题（复合命题），记作，读作“p或q”。如：6是3的倍数或是4的倍数。由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A和集合B的并集：3、非（否定）含义：相当于“不是”“全盘否定”“问题的反面”。一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题（复合命题），记作，读作“非p”或“p的否定”。由“非”的含义，我们可以用“非”来定义集合A在集合U中的补集：4、用“且”“或”“非”联结成的新命题（复合命题）的真假判定（真值表）注：（1）如果 p , q 都是真命题，则 pq 是真命题；如果 p , q 两个命题中，至少有一个是假命题，则 pq 是假命题。反过来，如果 pq 是真命题，则 p , q 一定都是真命题；如果 pq 为假命题，则 p , q 两个命题中，至少有一个是假命题，即以下三种情况一定有一种情况出现：p真，q假；p假，q真；p假，q假。（2）如果p，q两个命题中，至少有一个是真命题，则 pq 是真命题；只有当两个命题都为假时，pq是假命题。反过来，如果 pq 是真命题，则p，q两个命题中，至少有一个是真命题，即以下三种情况必有一种出现：（1）p真，q真；（2）p真，q假；（3）p假，q真。如果pq是假命题，则p，q 一定都是假命题。（3）与p不能同真或同假，其中一个为真，另一个必定为假。它们互为否定。从而有5、含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是，即全称命题的否定是存在性命题。（2）存在性命题的否定是，即存在性命题的否定是全称命题。6、几个需要注意的地方（1）正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”可以从集合的交集与并集的角度来把握含“且”与“或”的复合命题，在没有明确联结词时可从命题的实质来辨析。对于一个命题进行否定，就是要对其中的关键词语进行否定，常用否定词句见下表：正面词语等于大于（）小于（0，q：方程有实根。解析：（l）四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形四边形对角线互相平分。（2）x=1，或，或x=2。 （3）在ABC中，A60（如A=120时，；）在ABC中，（4）方程的，即方程有实根；方程有实根，即结论：（1）p 是 q 的必要不充分条件。（2）p 是 q 的充要条件。（3）p 是 q 的必要不充分条件。（4）p 是 q 的充分不必要条件。点评：在充分性、必要性判断时，要具备较强的逻辑推理能力，对已学过的知识要求熟练掌握。例4. 设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，问D是A的什么条件？解析：因为A是B的充分不必要条件，即AB且BA，C是B的必要不充分条件即CB且BC，D是C的充要条件，即DC，所以AD，但DA，所以D是A的必要不充分条件。点评：根据题意，画图示意，关系明确。 例5. 设，求证成立的充要条件是xy0。证明：（1）充分性：如果xy0，则有或xy0两种情况。当xy=0时，设x=0，则，等式成立，当xy0时，即x0，y0或x0，y0，y0时，等式成立。当x0，y0时，等式成立。总之，当时，成立。（2）必要性：若，且x，yR。则即，综上可知，xy0是等式成立的充要条件。点评：证明充要条件问题要分充分性，必要性两步； 要搞清由谁证谁是充分性，由谁证谁是必要性。例6. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q1，则方程有实根。（2）设a，b为实数，若，则a=0或b=0。（3）若，则x、y全为零。解析：（1）逆命题：若方程有实根，则q2，即p：m2若方程无实根，则解得，即q：。“p或q”真，“p且q”假，因此，p，q两命题一定一真一假，即p真q假或p假q真。，或，解得或。点评：由复合命题的真假，结合真值表也可以准确判断简单命题的真假。据此判断p、q两命题的真假情况。【模拟试题】一、选择题（每小题5分，共计60分） 1. 命题p：x=0；命题q：xy=0。则p与q的推出关系（ ）A. B. C. D. 以上都不对 2. 若xR，则x1的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 3. 若命题“”是真命题，则（ ）A. p和q同假B. p和q同真C. p假和q真D. p真和q假 4. 命题：p：；命题q：，下列结论正确的是（ ）A. “p或q”为真B. “p且q”为真C. “非p”为假D. “非q”为真 5. 对下列命题的否定说法错误的是（ ）A. p：能被3整除的整数是奇数，：存在一个能被3整除的整数不是奇数B. p：每一个四边形的四个顶点共圆；：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p：所有的三角形为正三角形；：所有的三角形都不是正三角形D. p：；：当时，xR 6. 关于x的方程有负实数根的充分必要条件是（ ） A. a0B. C. D. a0C. ab0D. a+b=0E. ab=0F. G. 中，分别选出适合下列条件的字母代号填入横线上。（1）使a，b都不为零的充要条件为_；（2）使a，b中至少一个为零的充要条件为_；（3）使a，b都为零的充要条件为_；（4）使a，b至少一个不为零的充要条件为_。 16. 在下列四个结论中，正确的有_（填序号）若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；已知a、bR，则“”的充要条件为；“a0且”是“一元二次不等式”的解集是R的充要条件；“x1”是“”的充分不必要条件；“x0”是“”的必要不充分条件。三、解答题（本题满分70分） 17. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在ABC中，p：AB，q：BCAC；（2）p：a=3，q：；（3）p：a0，则关于x的方程有实数根；（2）若x，y都是奇数，则x+y是奇数；（3）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0。 19. 已知a2，命题p：，求使为真命题的x的取值范围。 20. 已知，求证：a+b=1的充要条件是。 21. 已知：（m0），若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。参考答案一、1. A2. B3. A4. A5. D6. C7. A8. B9. C10. B11. B12. B二、13. 圆的切线到圆心的距离等于半径14. （1，2）15. （1）A（2）E（3）G（4）F16. 三、17. 解：（1）在ABC中，p是q的充要条件（2），所以p是q的充分不必要条件。（3）a0，则关于x的方程无实数根，是假命题。（2）否命题：若x，y不都是奇数，则x+y不是奇数，是假命题。命题的否定：若x、y都是奇数，则x+y不是奇数，是真命题。（3）否命题：若，则a，b，c全不为0，是真命题。命题的否定：若，同a，b，c全不为0，是假命题。 19. 解：p是真命题，即；q为真命题，即xa或xa或。 20. 证明：必要性：因为，即，充分性：，即由，即且只有综上可知，当ab0时，a+b=1的充要条件是。 21. 解：，得，所以“”：由，得，所以“”：“”是“”的必要而不充分条件，知：为所求。【励志故事】给生命加压一艘货轮在空船返航途中，在浩淼的大海上，突然遭遇特大风暴。货轮在暴风雨中不停地摇晃着、颠簸着，水手们惊惶失措，只有老船长镇静地指挥着：“打开所有货舱，立刻往里面灌水。”水手们更加不安和不解：“往船里灌水不是自找死路吗？”船长镇定地说：“大家见过根深干粗的树被暴风刮倒过吗？被刮倒的是没有根基的小树。”水手们半信半疑地照着做了。虽然暴风巨浪依旧那么激烈，但随着货舱里的水位越来越高，货轮渐渐平稳了。船长告诉那些松了一口气的水手：“一只空木桶，是很容易被风打翻的，如果装满水负重了，风是吹不倒的。船在负重的时候，是最安全的；空船时，才是最危险的时候。”