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专题限时集训(十五)第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质(时间：45分钟) 1已知双曲线1(m0)的右焦点与抛物线y212x的焦点相同，则此双曲线的离心率为()A6 B. C. D.2已知椭圆1的离心率e，则m的值为()A3 B.或 C. D.或33已知双曲线x21的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且0，则点M到x轴的距离为()A. B. C. D.4过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在5已知A1，A2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足kPA1kPA2，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.6已知P点是以F1，F2为焦点的双曲线1上的一点，若0，tanPF1F22，则此双曲线的离心率等于()A. B5 C2 D37设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa213 Ba2 Cb22 Db29已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y4x，则该双曲线的离心率为_10短轴长为，离心率e的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为_11F是抛物线x22y的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_12已知点F(1,0)，直线l：x1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N(4,2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？13已知离心率为的椭圆C1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y24mx(m0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x，y)，|PF1|.(1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程；(2)若过焦点F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在椭圆C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图15114设直线l：yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点(1)证明：a2；(2)若2，求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程专题限时集训(十五)【基础演练】1C解析 抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以m259，解得m2，所以双曲线的离心率为.2D解析 当焦点在x轴上时，解得m3；当焦点在y轴上时，解得m.3B解析 方法1：根据已知得点M的轨迹方程为x2y23，与双曲线方程联立消掉x得y2，解得|y|，即为点M到x轴的距离方法2：设|m，|n，由得mn4，由SF1MF2mn|F1F2|d，解得d.故选B.4D解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)因为A，B两点到直线x2的距离之和等于5，所以x12x225.所以x1x21.由抛物线的定义得|AB|x11x213.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦ABx轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线【提升训练】5D解析 设P(x0，y0)，则，化简得1，可以判断，e.6A解析 根据0，tanPF1F22，可得PF1F2为直角三角形且|PF2|2|PF1|，根据双曲线定义得|PF2|PF1|2a，由此得|PF1|2a，|PF2|4a，根据勾股定理(2a)2(4a)2(2c)2，由此得5，即e.7C解析 根据椭圆定义|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，两式相加得|AF1|AF2|BF1|BF2|4，即(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)4，而|AF1|BF1|AB|，|AF2|BF2|2|AB|，所以3|AB|4，即|AB|.8D解析 因为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，所以c25，a2b25；取C2的一条渐近线l：y2x，设l与C1的交点为M，N，联立得(4a2b2)x2a2b20，则|MN|，因为C1恰好将线段AB三等分，所以|MN|，所以，a2，b2.9.解析 因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y4x，所以b4a，c217a2，e.106解析 由题知即解得由椭圆的定义知ABF2的周长为4a46.11.解析 |AF|BF|6，由抛物线的定义即|AD|BE|6，又线段AB的中点到准线的距离为(|AD|BE|)3，抛物线的准线为y，所以线段AB的中点到y轴的距离为.12解：(1)因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x.(2)方法1：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得当直线m的斜率不存在时，不合题意当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y2k(x4)，联立方程组消去y，得k2x2(8k24k4)x(24k)20，(*)x1x28，解得k1.此时，方程(*)为x28x40，其判别式大于零，存在满足题设的直线m.且直线m的方程为：y2x4，即xy20.方法2：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得易判断直线m不可能垂直于y轴，设直线m的方程为x4a(y2)，联立方程组消去x，得y24ay8a160，16(a1)2480，直线与轨迹C必相交又y1y24a4，a1.存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20.方法3：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上，有将，得yy4(x1x2)当x1x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，1，即直线AB的斜率k1，注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C相交)，存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20.13解：(1)由已知得：F2(m,0)，cm，a2m，则椭圆方程为：1，|PF2|4mxm，x3m，y24m3m，1，27m234m70，m，m1，椭圆C1的方程为：1，抛物线C2的方程为：y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，设直线AB的方程为：xny1，kMAkMB2kMF2，(y1y2)(x01)2ny0(y1y2)(x01)2ny1y2(x01)2n2y0y1y2，y24ny40，y1y24n，y1y24，n(x01)(x0ny01)0，直线AB不经过点M，x0ny010，n0或x01，当n0时，椭圆上存在两点M(2,0)或M(2,0)符合条件；当n0时，则当x01时，椭圆上存在两点M1，和M1，都符合条件14解：(1)证明：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故yk(x1)可化为xy1.将xy1代入x23y2a2，消去x，得y21a20，由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得4(1a2)0，整理得a23，即a2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y1y2，因为2，得y12y2，代入上式，得y2.于是，OAB的面积S|OC|y1y2|y2|.上式取等号的条件是3k21, 即k.由y2，可得y2.将k，y2 及k，y2这两组值分别代入，均可解出a25.所以，OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x23y25.
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