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课时作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题1(2020浙江温州联考)已知偶函数f(x)在R上任一取值都有导数，且f(1)1，f(x2)f(x2)，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A1B2C1D2答案：A解析：由于f(x)是R上的偶函数，故其图象关于y轴对称，f(x)f(x)，又f(x2)f(x2)，f(x)是周期为4的周期函数，故f(x)在x5处的导数就是在x1处的导数，又f(1)f(1)1，曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为1，故应选A.2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒B1秒末C2秒末D1秒末和2秒末答案：D解析：st3t22t，vs(t)t23t2.令v0，得t23t20，解得t11或t22.故应选D.3已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)ex1x2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()A2xy10Bxy30C3xy20D2xy30答案：B解析：令x1，解得f(1)2.对等式两边求导，得f(x)2f(2x)ex12x，令x1，解得f(1)1，所以切线方程为y2x1，即xy30.故应选B.4(2020郑州模拟)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A.BCD1答案：A解析：yx0(2e2x)x02，故曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线y0和yx的交点分别为(1,0)，故围成的三角形的面积为1.故应选A.5已知函数f(x)xn1(nN*)的图象与直线x1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值为()A1B1log2 0132 012Clog2 0132 012D1答案：A解析：函数的导数为f(x)(n1)xn，所以在x1处的切线斜率为kf(1)n1，所以函数f(x)xn1在点P处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得xn，所以x1x2x2 012，所以log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 013(x1x2x2 012)log2 0131，故应选A.6(2020泰安模拟)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex答案：D解析：由凸函数的定义可知，该题是判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负对于A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，在x上，恒有f(x)0；对于B，f(x)2，f(x)，在x上，恒有f(x)0；对于C，f(x)3x22，f(x)6x，在x上，恒有f(x)0；对于D，f(x)exxex，f(x)exexxex2exxex，在x上，恒有f(x)0.故应选D.二、填空题7若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案：1解析：y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.8(2020成都模拟)已知a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的函数f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程是_答案：y2x解析：f(x)3x22axa2是偶函数，a0，f(x)x32x，f(x)3x22，f(0)2，f(0)0，切线方程为y2x.9(2020江西)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案：(e，e)解析：由题意，得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m 2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)10(2020烟台模拟)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案：2解析：由直线yx1与曲线yln(xa)相切，可知1，即xa1，此时yln(xa)ln 10，且x10，x1.1a1，解得a2.三、解答题11已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程解：(1)由f(x)x33x，得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，又3x3，即x3x023(x1)(x01)，解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3，y(2)(x1)，即9x4y10.12(2020深圳模拟)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围为.13已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)f(x)3ax26x6a，f(1)0，即3a66a0，a2.(2)存在直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线yg(x)的切线，设切点为(x0,3x6x012)，g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将点(0,9)代入，得x01，当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由f(x)0，得6x26x120，即有x1或x2，当x1时，yf(x)的切线方程为y18；当x2时，yf(x)的切线方程为y9.公切线是y9.又令f(x)12，得6x26x1212，x0或x1.当x0时，yf(x)的切线方程为y12x11；当x1时，yf(x)的切线方程为y12x10，公切线不是y12x9.综上所述，公切线是y9，此时k0.
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