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第八章第5课时 曲线与方程 课时闯关（含解析）一、选择题1(2020无锡调研)下列各点在方程x2xy2y10表示的曲线上的是()A(0,0)B(1,1)C(1，1) D(1，2)解析：选D.验证法，点(0,0)显然不满足方程x2xy2y10，当x1时，方程变为1y2y10，解得y2，(1，2)点在曲线上故选D.2已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：选B.|4，|，4(x2)，44(x2)0，y28x.3方程(x2y24)0的曲线形状是()解析：选C.由题意可得或xy10.它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分4平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆C圆 D双曲线解析：选A.设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一条直线5(2020兰州质检)一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：选A.折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，|PA|PQ|.又|PA|OP|r，|PQ|OP|r|OQ|.由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆二、填空题6设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x24y21，即为所求答案：x24y217由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程为_解析：在RtAOP中(O为坐标原点)，APB60，APO30，PO2OA2，动点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x2y24.答案：x2y248(2020大同调研)直线1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是_解析：设直线1与x，y轴的交点分别为A(a,0)，B(0,2a)，AB中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1，a0，a2，x0，x1.答案：xy1(x0，x1)三、解答题9已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，求点P的轨迹方程解：，R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由，得(1x1，y1)(x1，y)，则，即x12x，y1y，将其代入直线y2x4中，得y2x，点P的轨迹方程为y2x.10已知椭圆1(ab0)的焦点是F1(c,0)，F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足0，|0.(1)设x为点P的横坐标，证明|F1P|ax；(2)求点T的轨迹C的方程解：(1)证明：设P(x，y)，则|F1P|2(xc)2y2(xc)2b2x22.xa，axac0，|F1P|ax.(2)设T(x，y)当|0时，0，PTTF2.又|PF1|PF2|2a|PF1|PQ|，|PQ|PF2|，T为线段F2Q的中点在QF1F2中，|OT|F1Q|a，即x2y2a2.当|0时，点(a,0)和(a,0)在轨迹上综上所述，点T的轨迹C的方程是x2y2a2.11设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足()，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|的最大值，最小值解：(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4k2)x22kx30.则4k212(4k2)0.x1x2，x1x2.设P(x，y)是中点，则()，得消去k得4x2y2y0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x.而|222232，当x时，|取得最大值，当x时，|取得最小值.
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