均值定理的推广和应用

均值定理丁 + bO 2的推广及应用小金县中学校刘世洪 内容摘要：均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。在各年各地的高考试 题中经常见到均值定理的使用，本文就对均值定理的各种变式进行梳理，以问题 的形式对各种变式的应用加以说明和阐述。关键词：均值定理最值均值定理的内容：如果g bwR,则a2+b22ab（当且仅当a = b时取“二”）。 定理的推广：1. 如果G bwR,则匚土b （当且仅当a = b时取“二”）。22. 如果a, be R十,贝ia + b2fab O且仅当a = b时取二”）。3. 如果e beRj则凹 2皿（当且仅当a = b时取“二”）。24. 如果e bwR+,贝ij 凹、（当且仅当a = b时取“二”）。I 2丿5. 如果x0,则x + l2（3且仅当x = l时取“二”）。6. 如果x2（3且仅当兀=-1时取“二”）。7. 如果心0,则x + -2（当且仅当“1时取“二”）。8. 如果abQ,则色+ ?2（当且仅当o = b时取“二”）。a b9. 如果abO，则2 + ? 2（当且仅当a = b时取“二”）。a b10. 如果d, bwR,则竺尹彳字 J（当且仅当a = b时取“二”）。 说明事项：1. 当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值；当两个正数的和为定值时, 可以求它们积的最小值。2. 求最值的条件“一正，二定，三取等”。3. 均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、证明不 等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。问题一：求函数值域例1：求下列函数的值域（1），= 3宀厶 （2） y = x + 2对x解：因为y = 3x2+- 2_ 3x2 = y6 V 2x*所以函数值域为1, + 8）。(2)因为当 x0时，y = x + - 2jx = 2 X X(x)+所以函数值域为（-8,-22, + 8）。问题二：凑项例2：己知x -,求函数y = 4x + 2的最大值。4 4x-5解：因4x-50,所以首先要“调整”符号，X（4x-2）.不是常数, 4%-5所以对4r-2要进行拆、凑项,vx04/. y = 4x + -4x-5-2 = -(5_4x)+1 、5-4x+ 3 52 + 3 = 1当且仅当5-4x =-,即x = l时，上式等号成立，故当x = l时，y = 1 o5 - 4%评注：本题需要调整项的符号，乂要配凑项的系数，使其积为定值是解决此问题 的关键。问题三：湊系数例3.当0vxv4时，求y = x（8-2x）的最大值。解析：由0 x0,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积 为定值。此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+（8-2a） = 8为 定值，故只需将y = x（8-2x）凑上一个系数即可。y = x（3-2x）=2x（3-2x）2x + S2x当2x =（8-2x）,即x = 2时取等号二；即当x = 2时，y = x（8-2x）取最大值为8o评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可 利用均值不等式求最大值。变式1： 0x|,求函数y = 4x（3-2a）的最大值。3 /9 v 11 _ 9 V-解：Q x 0, y = 4x(3 - 2x) = 2 - 2.v(3 - 2x) _i)的值域。X+1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项, 再将其分离。=L + 7“ 10 =(“ 厅 + 5(“ 1)+ 4 =(“ )+ 丄 + 5X+1X+1X+1当x-l,即x + l0时，y 2仏+1)上一+ 5 = 9 (当且仅当x = l时取“=”号)。Vx + 1所以函数值域为9,+ 8)。问题五：换元法例4解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令f = x+l,化简原式 在分离求最值。(/一1+ 7(f_ 1)+10 t2 +5t +44 一y = t 、当x1,即/0时，yl+ 5 = 9 (当且仅当/ = 2时取号)。所以函数值域为9,+ 8)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式 子分开再利用不等式求最值。即化为y =昭+缶+3(力0, 50), g(x)恒 正或恒负的形式，然后运用均值不等式來求最值。问题六：在使用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 /(x)=x+的单调性。例5：求函数y = J二的值域。 ylx2 + 4解：令f = y/x2 +4(/ 2),贝|J y = : + = y/x2 +4 +1=r + -(r 2)yx2 + 4ylx2 + 4 f因/0, q = l,但f = +解得U1不在区间2,+ 8),故等号不成立，考虑单调 性。因为y = / + *在区间1, +切单调递增，所以在其子区间2,+ 8)为单调递增函 数,tty|o所以，所求函数的值域为寸问题七：整体代换1Q例6：己知x 0, y 0 ,且+ = 1,求x+ y的最小值。 x y卜+小2启2历=121 Q( 19错解：/ x 0, y0，且一+ = 1 .x+y= + x yx y错因：解法中两次连用均值不等式，在x+)J2历等号成立条件是x = 在 -+ -2化等号成立条件是丄=?即9x=y,取等号的条件的不一致，产生错 x y xyx y误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤, 而且是检验转换是否有误的一种方法。19正解：/ x 0, y0,且 一 + = 1.+尸丄+ ? (x+y)=，+兰+ 10X2 空+10 = 16 1兀y)X yV卩19vx0, y 0.+ = 1，* yy 911 9当且仅当 =时，上式等号成立，X- + - = l ,可得x = 4, y = U时,x yx y(x+y)mm = 16。否则就会出点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性, 错。问题八：平方的构造例7.己知x, y为正实数，且x2+ = 1,求却门正的最大值。 2分析：因条件和结论分别是二次和一次,故釆用公式恥匚土同时还应化简717歹中才前面的系数为所以=V2当且仅当+ y ,即“丰，）=时上式等号成立，所以小/17灵的最大值为乎。问题九：构造均值定理的使用例8己知b为正实数,2b + cib + ci = 30 求函数 y = -的最小值。分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为 一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题來说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题來说，因已知条件中既有和的形式，乂有积的形 式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径 进行。解：法一:30-2b-2b2 + 30b 而由 a 0得，0 V。15 令心b+1, lr16,;2尸+34/ 31/. ab =16)tJ+ 34(-2)-2r + 34 = 18/. ab 2yllab:. 30-ab 2y2abu = yab 贝肛厂+27/ 30 0,-52 h 32. yfab 3迈,.ab o 18点评：本题考查不等式 V(n,G/?+)的应用、不等式的解法及运算能力；2如何由已知不等式ab = a + 2b+30SbwRO出发求得肪的范围，关键是寻找到a + b与”之间的关系，由此想到不等式 M（a,beR+ 这样将己知条 2件转换为含”的不等式，进而解得db的范围。问题十：取平方例9.己知x, y为正实数，3x+2y = 10,求函数），=+的最值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系凹a2+b2本题很简单。y = yf3x + y2y 0,=（顷 + 历=10+2亦阿 8ci A b A c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，X-l = = ,可由此变形入手。同理丄巫，bb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得I a问题十二：均值定理在比较大小中的应用，则 P, Q, R例 13：若 a b 1, P = Jig a lg b, Q = (lgfl 4-lg/?), R = lg的大小关系是？解：a b I, :. lgt7 0,lgZ? 0.Q = 1(lga + lgb) Jlga lgb = P(ci + b 2-