高中数学集合的含义与表示 知识探讨

集合的含义与表示 知识探讨合作与讨论一、如何理解集合的概念？集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念教材中对集合的描述是：“指定的某些对象的全体称为集合”应抓住“指定”“对象”“全体”三点加以全面理解1“指定”即说明“某些对象”具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合2“对象”在不同的集合中，应有不同的内涵在不同的集合中元素还可能是人、物、质点或抽象事物等等3“全体”说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求、没有一定顺序关系4元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号符号表示）如21，2，3，41，2，3，11，2，3，而11，2，35集合具有两个方面的意义：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就一定符合条件二、集合中元素的三大特征是什么？应如何理解？我们知道集合元素必具备：确定性、互异性、无序性，否则不能构成集合1确定性：对于一个给定的集合，它的元素的意义应当是明确的依照元素公有的特征标准，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可例如“我们班的高个子同学”就不具备确定性；因为组成集合的标准不明确身高多少时算“高个子”？再如“著名科学家”“较大的数”“宇宙中的星体”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，即元素的“指定” 2互异性：一个给定集合的元素之间必须是互异的，即一个集合中的任两个元素（对象）应该是不同的，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中如方程（x1）2（x2）0的根为：，x21，而该方程的解集记为1，2，而不能记为1，2，3反过来，如1，1，a2表示一个集合，则其中3无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分如1，2，3，4与4，1，2，3表示同一个集合在构成集合时元素需同时具备以上三个特征，缺一不可 三、集合三种表示方法的要求有哪些？何时选用列举法、描述法、韦恩图法？1列举法：把集合中的元素一一列举出来，置于大括号内诸元素x1，x2，xn构成的集合记为x1，x2，xn在使用列举法时应注意以下四点：（1）元素间用分隔号“，”；（2）元素不重复；（3）不考虑元素顺序；（4）对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如N*1，2，3，n，1，3，5，7，9列举法适用于表示元素个数较少的集合，对于元素个数较多甚至有无穷多个元素的集合，一般不便于用列举法表示但对于一些元素经适当排列后有规律的数集，也可以用列举法表示2描述法：选用代表元素和借助元素公有的确定条件来表示集合形如xAP（x）或公有属性，其中x为该集合中元素的代号，它表明了该集合中的元素是“什么”；A是特定条件；P（x）为该集合中元素特有的公共属性、特征在使用描述法时应注意以下几点：（1）写清元素代号；（2）说清集合中元素的特性；（3）文字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；（4）所有描述的内容都写在集合括号内；（5）语句力求简明、确切，字句逐一说明3列举法、描述法的书写及读法：分类符号应用举例读法列举法，x1，x2，xn诸元素x1，x2，xn构成的集合描述法1xAP（x）使P（x）为真的A中诸元素集合4图示法韦恩图法采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合如，用韦恩图表示为：表示集合的图形的形状、大小与集合的性质没有任何关系，它仅仅把集合中的元素都包括在内，从而体现“整体”韦恩图可直观地表示集合，帮助我们理解、分析问题，但不能作为严密的数学工具使用上述的集合表示法各有特点，根据不同的情况，可选掸适当的方法表示集合，而且表示法之间有时可以相互转化，关键在于正确理解集合语言、文字语言、图形语言间的转换，这标志着一个学生的理解能力的高低其三者关系如下图：四、如何理解空集？1中含有什么在集合中含有什么样的元素？什么也没有空集的定义就是：不含任何元素的集合由集合的一般定义，集合中要有“指定的元素（对象）”，空集既然也是集合，指定对象哪里去了呢？里边没有元素它还叫集合吗？由此可见，在这个地方存在矛盾，因此空集的定义不应包含在一般情况中，而是专门作了特殊规定正如一些其他同类问题一样，我们也规定存在一个没有元素的集合它不同于其他普遍意义下的集合，是单为运算的简化、统一和表达的需要而引进的特殊记号只要有集合的地方，就会有它的应用，和其他集合不同，它不含有任何元素你说0是空集吗？不对，它不是空集，它的内部已经有元素0了2和是什么关系是不含任何元素的集合是只含有一个元素的单元素集虽然中没有元素，但作为集合来说，是含有一个元素的，所以其次，在后面的学习中将规定：“空集是任何集合的子集”，所以上面已经指出，是非空集合，根据“空集是任何非空集合的真子集”，又可得出由此可见，这里有一个有趣的现象，在与之间，我们可用四个符号、中的任意一个把它们连结起来，但不能用等号连结五、列举法、描述法的优劣及使用要求本小节列举法和描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准，有如下的规定：符号，1应用x1，x2，xnxAP（x）意义或读法诸元素x1，x2，xn构成集使命题P（x）为真的A中诸元素之集备注及示例也可用xi，ixRx5，xx5列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法要注意，一般无限集时，不宜采用列举法，因为不能将无限集中元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定