高中数学对函数的进一步认识 合作与讨论

对函数的进一步认识 合作与讨论1怎样判断一个解析式是否是函数?要判断一个解析式表达的是否为函数，利用定义法便可解决即对定义域中的任何一个值，在值域中都有唯一的函数值与它对应2函数yx2与St2是同一函数吗?函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此yx2与St2表示的是同一个函数因此并非字母不同便是不同的函数这是由函数的本质决定的3如何判断一个对应是否为映射?根据定义即可，称为定义法对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应月中的多个元素的对应就不是映射可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射4无究大是一个数吗?无穷大仅是一个记号，不是一个数用，作为区间一端或两端的区间称为无穷区间，如xax可用区间表示为（a，）5如何理解符号yf（x）中的“f”?符号yf（x）中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以形象地把函数的对应法则“f”看作一个“暗箱”例如yf（x）x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用（如下图），则显然应该有f（a）a2，f（m1）（m1）2，f（x1）（x1）2【例题】已知函数求f（2），f（3），ff（3）的值解：f（2）224，f（3）0，ff（3）f（0）2点评：函数的定义域的求法（1）由函数的解析式确定函数的定义域在函数的解析式中，自变量可能因为参与某种运算而使其取值范围受到限制由这种限制要求就可以确定自变量只能取值的范围，也就求得了函数的定义域这类限制主要有：分式的分母不能为零开偶次方时，被开方数必须为非负数对数的真数必须大于零，底数必须为非1的正数一些特殊函数对自变量的规定（以后学习）（2）由实际问题确定函数的定义域有许多函数是反映生产生活的实际问题的，因而定义域除受解析式的制约外，还必须符合实际问题的情况与要求如有些问题要求自变量只能取正数（某些图形的边长、面积等），有些问题又要求自变量只能取正整数（以件为单位的物品或人数等）6函数的表示法有几种?函数的表示方法有三种，即解析法、列表法、图象法中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数，对解析法比较容易理解列表法、图象法也是表示函数的方法用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的对应值图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况7函数的图象都是连续的曲线吗?这不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点例如：y5x，（x1，2，3，4）有时函数的图象是由几段线段组成8如何由实际问题写出函数表达式?（1）阅读理解，要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质（2）数学建模即将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学式子表示出来分段函数是一个函数还是几个函数?分段函数仍是一个函数，只不过是根据自变量的不同范围，函数的表达式不同而已本节内容中主要包括：函数的概念、函数的表示方法、映射突破思路1函数是中学数学中最重要的基本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸，本节中，在学习集合的基础上，用集合对应的语言对函数重新加以定义，从根本上揭示了函数的本质：由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，从而使学生认识到初中变量观点F定义的限制和重新认识函数的必要性概念的教学是非常重要的，尤其是学生刚接触一种新的概念，教师给学生讲清楚，并通过师生的共同讨论，帮助学生深刻理解变得更为重要，要在学生的思想上、知识结构中打上深刻的烙印，否则后面的学习将会产生困难2函数是由其定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，并可用抽象符号f（x）来表示，由于f所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故本节介绍了函数的表示方法，除了解析法还有列表法和图象法，这三种表示函数的方法之间具有内在的联系比如本节例3的数据可以用列表法给出，教学中可引导学生先列表，再求解析式，最后画图象例4在本质上则是训练由图象求解析式的过程等，认识函数的三种表示方法之间的联系并能相互转化，是对函数概念深化理解的重要步骤3映射是一种特殊的对应，学习这一定义时，应注意以下几点：（1）映射是由集合A，B以及从A到B的对应关系f所确定的（2）在映射中，集合A中的“任一元素”在集合B中都有“唯一”的象，即不会存在集合A中的某一元素a在集合B中没有象，或者不止一个象的情况（3）在映射中，集合A与B的地位是不对等的一般地，在映射中我们不要求B中的每一个元素都与A中的唯一元素相对应因此，从A到B的映射与从B到A的映射是具有不同的要求的本节由实际问题引出了对分段函数的认识，即对于自变量不同的取值范围，用不同的解析式表示同一个函数关系，故分段函数是一个函数而不是几个函数，教学中可举一些例子帮助学生理解根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型、研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中规律总结1函数的三种表示法的比较（1）用解析法表示函数关系的优点是：函数的关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质缺点是：函数值的对应关系必须通过计算才能得到，有时其计算量较大，而且并不是所有的函数关系都能用解析法表示出来（2）用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的函数的对应数值缺点是：有时只能表示一部分的自变量与函数值的对应关系，而不能把所有的对应关系一一表示出来，而且有时所有表示的函数的性质较为隐蔽，不利于研究函数的性质（3）用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况缺点是：不能精确地表示自变量，对应的函数值的对应关系2映射是一种特殊的对应，它是研究函数的基础和工具映射是现代数学的基本语言（如同集合一样），用它来叙述问题简洁明了因此对于映射的学习重在准确理解和把握映射的概念上，即抓住“取元任意性、成象唯一性”这两点映射是在函数的基础上引申、扩展的，而函数则是一个特殊的映射一方面，我们要善于利用函数与映射这一关系来理解和解决问题，如以函数作为特例不难理解映射的概念；反过来，运用映射的语言来叙述问题就简洁明了得多另一方面，函数与映射的这一关系正是人类对客观事物认识由低级向高级飞跃的一个缩影因此我们应掌握这种将低级认识扩展到高级认识的思维方法，掌握了这种方法也就掌握了发明和创造的方法3基本方法（1）函数及其同一性（两函数“相同”）的判定两个函数当且仅当它们的定义域和对应关系完全相同时，才是同一个函数判断函数的同一性，重要的是定义域和对应关系的实质，而不是表示它们的公式的外貌（2）求函数定义域及定义域的应用定义域是函数的关键性特征，对于每个确定的函数，其定义域是确定的但是，未必每个解析式都能在实数集R上定义一个函数例如，就不能在R上定义出函数来又如也不是定义域为R的函数，然而它可以定义为R的子集（，1上的函数，这就产生了求定义域的问题在实际寻找函数的定义域时，应当遵循下列规则：分式的分母不应该是零；偶次根式的根号里面的式子应该为非负数；对数的真数应该是正的；有限个函数的四则运算得到的函数，其定义域是这有限个函数的定义域的交集（作除法时还要排除使除式为零的x值）；对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件制约关于定义域的应用，常见的有如下几个方面：求值域或确定函数值的变化范围；解析式的变形或化简；解不等式或解方程；求函数的最值（3）求函数的值域及值域的应用最直接的方法是由函数的定义域通过对应关系求值域，有时也可根据具体情况采用下列适当的方法或技巧：化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域；利用二次三项式的判别式求值域；由图象，运用数形结合的方法求值域；利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域；采用换元法求值域；在建立反函数概念后，可利用互为反函数的定义域与值域的互换关系求值域（4）求函数表达式与函数记号的运用通常会遇到下列各种情形：对于已知函数f（x）、（x），求形如f（x）的表达式；已知函数表达式的类型，根据函数所具有的某些性质或约束条件确定表达式中的待定参数；根据函数对应关系所满足的某些条件，求函数的表达式在上述各种情形中，正确理解和运用函数记号，常常是疏通思路的关键函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法三种求函数的解析式的方法有：直接法、配凑法、换元法、消去法、定义法、待定系数法及特殊法等（5）求函数值与画函数图象求函数值是学习函数概念必须掌握的最基本的但却是最重要的方法例如画函数图象首先就要求函数值一个函数yf（x）可看成有序实数对（x，y）的集合在直角坐标系中给出以每个有序实数对为其坐标的点，所有这些点的集合就是函数的图象函数的图象表示法奠定了数形结合的基础