高中数学函数与方程 知识探讨 北师大版 必修1

函数与方程 知识探讨本节包含利用函数性质判断方程解的存在和利用二分法求方程的近似解两部分内容这是方程理论中的两个问题代数方程理论有下列几个主要问题：（1）根式解问题；（2）根的分布及近似计算；（3）根的存在问题；（4）根的性质的研究根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来但是五次以上的代数方程和许多超越方程（如课本第132页例2）并不存在根式解或一般的公式很多方程问题往往要回答根的存在性问题，某些问题虽然不要求得到精确的解，但往往要求得到满足一定条件的近似解本节是在前面学习函数的基础上，以函数为工具，利用方程与函数的关系来判定和求解方程的近似解1关于利用函数性质判定方程解的存在性问题，教材首先提出问题，通过实例分析（例1），抽象概括出函数的零点概念，并给出了零点个数与方程的实数解的关系这就是说，方程f（x）0的解是否存在等价于函数f（x）的零点是否存在，也就等价于f（x）的图象与x轴是否有公共点的问题课本中“若f（a）f（b）0，则在区间（a，b）内，方程f（x）0至少有一个实数解”的结论是建立在连续函数基础上的，特别需要指出的是，连续函数的概念不要给学生介绍，让学生通过实例直观了解什么是连续曲线就可以了要让学生知道，初等函数的图象在其定义域内的区间上都是连续曲线使学生理解方程与函数之间的内在联系是学好本部分内容的关键例1是一个二次代数方程在（，）内解的存在性问题，例2是一个超越方程在区间1，0内解的存在性问题例3首先需将一个方程转化构造出一个函数，再进行证明，难点是区间端点的选取以及对“f（a）f（b）0”的本质理解“在区间（a，b）内有曲线穿过x轴”2关于利用二分法求方程的近似解问题，课本采用了二分法二分法的优点是思想方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根二分法的一般过程是：假设f（x）在a，b上连续，且f（a）f（b）0（不妨设f（a）0，f（b）0）取区间a，b的中点，若，则f（x）0的根是；若，则令a1a，；若，则令，b1b于是形成新区间a1，b1，它包含f（x）0的根（图（3）和图（4）图（3）图（4）再取a1，b1的中点，若，则若，则令a2a1，；若，则令，b2b1于是又形成新区间a2，b2，其长度等于，它包含方程f（x）0的根，若允许误差，则按这个过程作出区间a1，b1，a2，b2，an，bn，（x表示x的整数部分），于是是方程f（x）0的近似根，误差不超过3建议讲解本节内容时，适当补充相关史料，但对实根的近似计算不必介绍更多的方法有些方法今后还会学到对学有余力的学生可指导其上网查阅一些其他简单方法，如：秦九韶法（亦称和纳法）、迭代法以及0.618法等0.618法0618法也称黄金分割法，它是批次不限定，每批做一个试验的最优方法试验点的选取可以用下公式计算：第一个试验点：；其余试验：注意，这里是指中间已经做过的试验点，而不是中点课本第138页问题3给出了一个函数：f（x）|x|xb|xc|xd|xe|xf|怎样求出这个函数的最小值呢？下面给出一个此类问题的一般的结论函数（a1a2an）有最小值：（1）当n为奇数时，最小值为；（2）当n为偶数时，最小值为或如果aiaj（i，j1，2，n，ij），问题将转化为（pi为正整数，i1，2，n）型函数的最值问题当pi（i1，2，n）为正实数的一般情况时有以下结果：定理：设，函数（a1a2an，p1，p2，pn为正实数）有最小值：（1）时，最小值为f（a1）；（2）当p1p2Pi1且p1P2pi（i1，n）时，最小值为f（ai）函数f（x）的图象如下图所示：p1p2pi1且p1p2pi1时，p1p2pi时，从图象容易看出，方程f（x）m的解只可能有无解、一解、两解，无数个解四种情况且一解与无数解的情况均在m等于f（x）的最小值时得到【例】（车站选址问题）下图是一个工厂区的地图，若干个工厂分布在公路两侧，由一些小路与公路相连，由小路经各路口的工厂数目分别为p1，p2，pn，现要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好问：这个车站设在什么地方最好？分析：问题可抽象为求一点x，使函数有最小值其中a1，a2，an是各路口的位置坐标很明显，最佳位置的选定仅与p1，p2，pn的大小及顺序有关而与a1，a2，an无关由本文所给定理容易求解车站最佳位置代数方程（algebraicequation）代数方程指多项式方程，其一般形式为anxnan1xn1a1xa00，是代数学中最基本的研究对象之一在20世纪以前，解方程一直是代数学的一个中心问题二次方程的求解问题历史久远在巴比伦泥板中（公元前18世纪）就载有二次方程的问题古希腊人也解出了某些二次方程中国古代数学家赵爽（公元3世纪）在求解一个有关面积的问题时，相当于给出二次方程x2kxA的一个根7世纪印度数学家婆罗摩笈多给出方程x2pxq0的一个求根的公式一元二次方程的一般解法是9世纪阿拉伯数学家花拉子米建立的对三次方程自古以来也有很多研究在巴比伦泥板中，就有相当于三次方程的问题阿基米德也曾讨论过方程x3acx2的几何解法11世纪波斯数学家奥马海亚姆创立了用圆锥曲线解三次方程的几何方法，他的工作可以看作是代数与几何相结合的最早尝试但是三次、四次方程的一般解法（即给出求根公式），直到15世纪末也还没有被发现意大利数学家帕乔利在1494年出版的著作中还说：“x3mxn，x3nmx（m，n为正数）现在之不可解，正像化圆为方问题一样”但到16世纪上半叶，三次方程的一般解法就由意大利数学家费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺等得到三次方程的求根公式最早出现在卡尔达诺的大术（1545）之中；四次方程的求根公式由卡尔达诺的学生费拉里首先得到，也记载于卡尔达诺的大术中在16世纪末到17世纪上半叶，数学家们还探讨如何判定方程的正根、负根和复根的个数卡尔达诺曾指出一个实系数方程的复根是成对出现的，牛顿在他的广义算术中证明了这一事实笛卡儿在他的几何学中给出了正负号法则（通称笛卡儿法则），即多项式方程f（x）0的正根的最多数目等于系数变号的次数，而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数但笛卡儿本人没有给出证明，这个法则是18世纪的几个数学家证明的牛顿在广义算术中给出确定正负根数目上限的另一法则，并由此推出至少能有多少个复数根研究代数方程的根与系数之间的关系，也是这一时期代数学的重要课题卡尔达诺发现方程所有根的和等于xn1的系数取负值，每两个根的乘积之和等于xn2的系数，等等韦达和牛顿也都在他们的著作中分别叙述了方程的根与系数之间的关系，现在称这个结果为韦达定理这些工作在18世纪发展为关于根的对称函数的研究另一个重要课题是今天所谓的因子定理笛卡儿在他的几何学中指出：f（x）能为（xa）整除，当且仅当a是f（x）0的一个根由此及其他结果，笛卡儿建立了求多项式方程有理根的现代方法他通过简单的代换，把方程的首项系数化为1，并使所有系数都变为整数，这时他判断，原方程的各有理根必定是新方程常数项的整数因子牛顿还发现了方程的根与其判别式之间的关系，他在广义算术中还给出了确定方程根的上界的一些定理此外，数学归纳法也在18世纪末开始明确地用于代数学中18世纪以后，数学家们的注意力开始转向寻求五次以上方程的根式解经过两个多世纪的努力，在欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等人工作的基础上，19世纪上半叶，阿贝尔和伽罗瓦几乎同时证明了五次以上的方程不能用公式求解他们的工作开创了用群论的方法来研究代数方程的解的理论，为抽象代数学的建立开辟了道路（见置换群和伽罗瓦理论）代数方程理论的另一个问题是“一个方程能有多少个根”中世纪阿拉伯和印度的数学家们都已认识到二次方程有两个根到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺引入了复数根，并认识到一个三次方程有3个根，一个四次方程有4个根，等等荷兰数学家吉拉尔在1629年曾推测并断言：任意一个n次方程，如果把复根算在内并且是重根算作k个根的话，那么它就有n个根，这就是代数基本定理这个定理在18世纪被许多著名的数学家认识到并试图证明之，直到1799年高斯才给出第一个实质性的证明对代数方程理论的研究，使数学家们引进了在近世代数中具有头等重要意义的新概念，这些新概念很快被发展成为广泛应用的代数理论规律总结函数是一条纽带，它把中学数学各个分支的知识紧密地联系在一起函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系一个函数若有表达式，那么这个表达式就可以看成一个方程一个一元方程，把它的两边分别看成一个函数时，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标同学们在学习过程中，应注重沟通函数与方程二者之间的联系，初步感受数学的整体性，提高解决问题的能力本节主要是函数在求方程近似解中的一个应用为了求出方程f（x）0解的近似值，首先必须判定方程f（x）0的实数解的存在性，这就要用到函数的一些性质一经判定方程存在实数解，就能够用二分法求方程解的近似值，只要增加二分的次数，即可求出满足一定精度要求的解用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过实验确定端点用二分法求方程解的近似值的基本步骤是：（1）选定初始区间（a，b），并着手实施二分；（2）取有根区间（a，b）的中点x0作为近似根；（3）确定二分后新的有根区间（a1，b1），再取其中点x1作为近似根，如此反复二分下去，得到一系列有根区间（a，b），（a1，b1），（a2，b2），（ak，bk），和近似根序列x0，x1，x2，xk，直到满足精度要求为止；（4）检查近似根是否满足精度要求