高中数学函数与方程 合作与讨论 北师大版 必修1

函数与方程 合作与讨论1课本上说“若f（a）f（b）0，则在区间（a，b）内，方程f（x）0至少有一个实数解”，指出了方程解的存在性，并不能判断具体有多少个实数解，应怎样理解这句话？我们知道，f（a）f（b）0，说明f（a）与f（b）异号，也就是说，点（a，f（a）与（b，f（b）一个在x轴上方，一个在x轴下方由于函数f（x）的图象是一条连续曲线，则f（x）的图象至少与x轴有一个交点，且交点必在（a，b）内，否则只能出现下图的情况，而这显然不是函数图象了判断方程f（x）0是否存在实数解的关键是能否找到两端函数值相反的区间一个这样的区间至少包含方程的一个解（如左下图）如果知道f（x）在（a，b）内是单调函数，且f（a）f（b）0，则方程f（x）0在（a，b）内只有一个解反之，如果方程f（x）0，在（a，b）内有解，并不意味着就有f（a）f（b）0（如右上图）如果f（x）0在（a，b）内有且只有一个解，则必有f（a）f（b）0一般地，方程f（x）0在（a，b）内有奇数个解，则f（a）f（b）0；如果有偶数个解，则f（a）f（b）0但要注意，方程f（x）0如果在（a，b）内只有一个解，虽然有f（a）f（b）0，但f（x）并不一定单调，如下图所示如果能找到两端函数值反号的n个区间（互不相交公共端点除外），则方程就至少包含n个解2怎样利用函数增长速度差异的思想，判断形如f（x）g（x）的方程是否有解以及解的个数？以方程2xx3为例，设f（x）2x，g（x）x3，在同一坐标系内作出f（x）和g（x）的图象（如下图）由于f（x）和g（x）都是增函数，但增长的速度不一致，f（1）21g（1）；f（2）2223g（2）所以方程f（x）g（x）在（1，2）内必有一解又f（10）21010241000g（10），所以在（2，10）内方程f（x）g（x）必然还有一解事实上，设h（x）f（x）g（x），则h（1）0，h（2）0，h（10）0，所以方程h（x）0在（1，2）和（2，1O）内各至少有一根3课本例4给出了用二分法求满足一定精度要求的实数解问题，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数根所在的区间，共二分了10次那么能否在解题之前就能估出所要二分的次数呢？课本例4中，反复二分得到一系列有根区间：a，b0，2，a1，b10，1，a2，b20.5，1，a10，b100.7421875，0.744140625精度要求精确到0.01，共二分了10次|b10a10|0.005一般地，设允许误差，二分了n次得到的有根区间an，bn符合精度要求，即方程f（x）0的根x*与近似解必然满足只要有根区间（an1，bn1）的长度小于，那么结果xn关于允许误差将能“准确”地满足方程f（x）0由于，由，得，解得例如，课本例4，k2，a0，b2，解得n8，只要二分8次（课本表中第9次）即可达到精度要求：再如本书例4，k2，a1，b1.5，解得n6只要二分6次，即可达到精度要求4有一些方程存在重根例如x22x10有重根x1，方程（x2）2（x1）0有重根x2，但二分法为什么不能求出重根呢？事实上，是因为对于包含重根的区间往往两端的函数值并不反号，例如方程x22x10，设f（x）x22x1，对于任何区间（a，b），都不可能得到f（a）f（b）0，（见左下图）对于方程（x2）2（x1）0，函数g（x）（x2）2（x1）在含2的小区间（a，b）内也不可能得到g（a）g（b）0（见下下图）