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圆锥曲线中的探索性问题一、常见基本题型：（1）探索图形的面积问题例1、斜率为的直线BD交椭圆于B、D两点，且A、B、D三点不重合。 则面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？解：设直线方程为，联立方程 ，消去得 ， 设为点到直线的距离， ， ， 当且仅当时，的面积最大，最大值为。（2）探索图形的形状问题例2.已知抛物线，焦点为，直线 交抛物线C于A、B 两点，是线段AB的中点，过P作轴的垂线交抛物线C于点,是否存在实数，使ABQ是以Q为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理 由。 解：联立方程，消去得， 设， 则（），是线段的中点，即，得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，即， 结合（）化简得，即，或（舍去）， 存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。 (3)探索点、直线的存在性 例3：如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴 为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D 当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 解：时的不符合题意 时，当且仅当的斜率 与的斜率相等， 即， 解得， 因为，又，所以，解得， 所以当时，不存在直线，使得； 当时，存在直线，使得. 例4、已知B、C是曲线C：上不同两点，满足，在 轴上是否存在点，使得，若存在，求出实数的取值范围； 若不存在， 说明理由。 解： 设 设B（x1,y1）,C（x2,y2） 即即 若存在则 二:针对性练习1、设椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作斜率为的直线 与椭圆C交于M、N两点，在轴上是否存在点，使得以PM，PN为邻边的 平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由。解：由已知设的方程为：，将直线方程与椭圆方程联立 ，消去得： 设交点为， 则， 若存在点，使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形， 由于菱形对角线垂直，所以 又 的方向向量是，故， 则， 即， 由已知条件知 故存在满足题意的点P且m的取值范围是。2.直线与椭圆交于，两点，已知， ，若,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证 明；如果不是，请说明理由. 解：当直线斜率不存在时，即， 由已知，得 又在椭圆上， 所以 ,故的面积为定值. 当直线斜率存在时：设的方程为 必须 即 得到， ， 代入整理得： 所以的面积为定值. 3. 已知直线.若直线关于x轴对称的直线为，问直线与抛 物线是否相切？说明理由. 解：因为直线的方程为，所以直线的方程为. 由得. 当，即时，直线与抛物线C相切；当，即时，直线与抛物线C不相切.综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线C不相切.
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