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2.2.1正、余弦定理的应用举例（1）知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解二测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.三解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.典例剖析题型一 距离问题北甲乙例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里题型二 高度问题例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2=- 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。备选题 角度问题例3如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又，.由余弦定理，得，即.化简，得图1-3-2，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。点击双基一. 选择题：1在ABC中，下列各式正确的是 （ ）A. B.asinCcsinBC.asin(AB)csinAD.c2a2b22abcos(AB) 解：根据正弦定理得,又sinC=sin(A+B), asin(AB)csinA答案：C2海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B、C间的距离是 （ ）A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 解：根据题意知：AB=10，A=60,B=75则C=45,a=5答案：D3在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（ ）AA. 米 B. 米C. 200米 D. 200米解：如图，设塔高AB为h，RtCDB中，CD200，BCD90-6030在ABC中，ABCBCD30，ACB60-3030BAC120（m）答案：A4某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 . 答案：东南 a 5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .解：10课后作业1已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是 （ ）A.135 B.120 C.60 D.90 解：根据三角形中大边对大角，可知所对的角为最大角，设为，则cos=-, 120答案：B2如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.、a、bB.、aC.a、b、D.、 解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、，利用余弦定理可求AB的长度。答案：C3. 海上有A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8 n mile，A、C之间相距5 nmile，在A岛测得B岛和C岛的视角为60，则B岛与C岛相距的n mile数为 ( )A.7 B.6 C.5 D.4解：根据题意知：AB=8，AC=5,A=60,根据余弦定理有BC=8=49，BC=7答案：A4在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于()A15B10C5D20解：如图，BCCA，CDDA，设AEh，则2cos2，cos2230，15答案：A5. 某人朝正东方向走x km后，向左转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点正好是km，那么x的值为( ) A. B.2 C.2或 D.3解：如图，设出发点为A，则由已知可得ABx千米，BC3千米ABC180-15030AC，CAB60或CAB120当CAB60时，ACB180-30-6090x2千米当CAB120，ACB180-120-3030xAC千米答案：C6. 已知一塔高80m，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是60和30，则山高为 ( )A.240m B.180m C.140m D.120m解：DABC2第8题目7.如图,建造一幢宽为,房顶横截面为等腰三角形的住房,则ABC=,则等于( )时,可使雨水从房顶最快流下.A.300 B.450 C.600 D.任意角解：根据题意知s=AB=，加速度a=gsin.由s=得t=, =45时t最小答案：B8.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过,该船的实际航程为 ( )A. B. C. D. 解：船的实际速度是v=2,则经过,该船的实际航程为2=6答案：B二填空题9一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_解：如图，ABC180-10575BCA180-13545，BC10 cmA180-75-4560 10坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_解：如图，DB100 mBDA45，BCA30设CDx(xDA)tan30DAtan45又DABDcos45100x-DA50(-1)50()(m)答案：50() m11如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与测得BCD15， BDC30，CD30米，并在点 测得塔顶的仰角为60, 则BC= 米, 塔高AB= 米。 解：在，在中，北2010ABC答案：， 三解答题12.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700.于是,BC=10。 ，sinACB=，ACB90，ACB=41。乙船应朝北偏东41方向沿直线前往B处救援。13如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设，船的速度为，则，.（例3）在中，.在中，.在中，船的速度.14.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解：在中，30，6030， 所以CDAC0.1 又180606060， 故CB是底边AD的中垂线，所以BDBA 5分 在中， 即AB 因此， 故B、D的距离约为0.33km。
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