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四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知识巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-2，AB在AC上的射影是线段AC；BC在AC上的射影是点C；AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD，这样，RtABC中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).图1-4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系，图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是RtABC的六条线段之间存在着比例关系.ACDCBD,有，转化为等积式，即CD2=ADBD；ACDABC,有，转化为等积式，即AC2=ABAD；BCDBAC,有，转化为等积式,即BC2=BABD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散 这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-3，在RtABC中，C90，CD是AB上的高.已知AD4，BD9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=ADBD=4936.因为边长为正值，所以CD6,AC2=ADAB=4(49)52.所以AC.我们还可以求出BC、AB,以及ABC的面积等.问题探究问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-3，在RtABC中，C90，那么AC2BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图1-4-3思路:将射影定理产生的式子AC2=ABAD和BC2=BABD左右两边分别相加.探究:如图1-4-3，在RtABC中，C90，CD是AB上的高.应用射影定理，可以得到AC2BC2ADABBDAB=(ADBD)AB=AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题2 几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形.这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门呢？你能举例说明吗？思路:从所给图形中分离出基本图形，利用基本图形写出结论.探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路.这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图1-4-4(c)中，求证:CFCA=CGCB.(2)在图1-4-4(a)中，求证:FGBC=CEBG.(3)在图1-4-4(d)中，求证:CD3=AFBGAB；BC2AC2=CFFA;BC3AC3=BGAE.就可以这样来思考:图1-4-4在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到证明.第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FGBC=CEBG，只需证，而这四条线段分别属于BFG和BEC，能发现这两个三角形存在公共角EBC，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.或者在图1-4-4(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“RtADE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD2进行代换，得到BGBE=BFBC，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角EBC的BFG和BEC相似.你可以尝试着自己分析第(3)小题.典题热题例1如图1-4-5(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC，DGBE，F、G分别为垂足.求证:AFAC=BGBE.思路分析：从图1-4-5中分解出两个基本图形145(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AFAC=AD2，BGBE=DB2，通过代换线段的平方(AD2=DB2)，就可以证明所要的结论.图1-4-5证明：CD垂直平分AB，ACD和BDE均为直角三角形，并且AD=BD.又DFAC，DGBE，AFAC=AD2，BGBE=DB2，AD2=DB2,AFAC=BGBE.深化升华 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形的剖析.例2如图1-4-6，在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求证:CEFCBA.图1-4-6思路分析：要证明CEFCBA，题设中已具备了BCA=ECF，再找出一对角相等就不太容易了，因此，考虑证明BCA与ECF的夹边成比例，即，即证CECA=CFCB，再从已知条件出发考虑问题，在RtADC中，DEAC，根据定理能推出CD2=CECA，同理可得CD2=CFCB,这样，CECA=CFCB，问题就能得证.证明：ADC是直角三角形，DEAC，CD2=CECA.同理，可得CD2=CFCB.CECA=CFCB,即.又BCA=ECF，CEFCBA.深化升华 当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理.例3如图1-4-7，已知RtABC中,ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求证:AEBFAB=CD3.图1-4-7思路分析：分别在三个直角三角形RtABC、RtADC、RtBDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.证明：RtABC中,ACB=90，CDAB，CD2=ADBD.CD4=AD2BD2.又RtADC中，DEAC，RtBDC中，DFBC，AD2=AEAC，BD2=BFBC.CD4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD4=AEBFABCD.AEBFAB=CD3.例4如图1-4-8，在ABC中,D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.图1-4-8思路分析：由数形结合易知ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在BDC中，且BDDC1，即BDC是等腰三角形.因此，可以过D作DEBC，拓开思路.由于DE、AF都垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.解：在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC，又FC1，根据射影定理,得AC2=FCBC，即BCx2.再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-FC)FC，即AF2=x2-1.AF=.在BDC中，过D作DEBC于E，BDDC1，BEEC.又AFBC，DEAF，.DE=.在RtDEC中，DE2EC2=DC2，即()2()2=12,=1.由,DE=,整理得x6=4.x=.AC=.深化升华 本题体现了对基本图形、基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.
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