高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 第三节 相似三角形的判定及性质小结素材 新人教A版选修4-1（通用）

第三节 相似三角形的判定及性质本讲小结1平行线等分线段定理(1)定理的内容：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰(2)中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半两定理即为推论1、推论2的逆定理2平行线分线段成比例定理(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(2)三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例3相似三角形的判定(1)相似三角形的有关概念对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形对应边的比例称为相似比或相似系数(2)预备定理定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似利用本定理可以证明相似三角形的判定定理(3)相似三角形判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即：两角对应相等，两个三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，即：三边对应成比例，两三角形相似(4)直角三角形相似的判定定理定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似4相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们的周长的比都等于相似比性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方5直角三角形的射影定理(1)射影的概念从一点向一条直线作垂线，垂足称为这点在这条直线上的正射影，简称射影一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称为这个点集在这条直线上的射影如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段(2)锐角三角函数定义sin ，cos ，tan .(3)直角三角形射影定理和逆定理直角三角形射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(4)任意三角形射影定理：平面三角中，设一个三角形的三边分别为a、b、c，它们所对的三内角分别为A、B、C，则有：abcos Cccos B；bacos Cccos A；cacos Bbcos A.6相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定7相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等(2)可间接证明线段相等(3)为计算线段长度及角的大小创造条件(4)可计算周长、特征线段的长等