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第十五章 极限第一部分 五年高考荟萃2020年高考题一、选择题1.（重庆理. 3）已知，则 （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6答案 D二、填空题2.（上海文. 2）计算= 答案 3. 在等差数列中，则_ 答案 74三、简答题4.（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）设实数数列的前项和，满足（）若成等比数列，求和；（）求证：对有解：（）由题意，因为所以；由；（）易见，所以；从而时有：因为，且，所以；要证，只要证，即证此式显然成立，所以时有。最后证，若不然，又，故即，矛盾，所以（）。 2020年高考题一、选择题:1.(2020年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆， 又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则 A B. C. D. 【答案】C2（2020年高考四川卷理科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D3（2020年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B4（2020年高考江西卷理科4） ABCD不存在【答案】B5.(2010年高考重庆市理科3)（A） 1（B） （C） （D） 1【答案】B解析：=.二、填空题：1（2020年高考上海市理科11）将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。【答案】12（2020年上海市春季高考14)答案：。解析：不妨取，故故，故答案为1.三、解答题：1(2020年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）已知数列的前项和（）求；（）证明：【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】【点评】2020年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.2020年高考题一、选择题1、（09重庆理8）已知，其中，则的值为（ ）A.6B.C. D.【解析】答案 D2、（09湖北理6）设，则（ ）A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令时令时两式相加得：两式相减得：代入极限式可得，故选B答案 B二、填空题3、（09陕西理13）设等差数列的前n项和为,若,则 . 答案 1第二部分 两年模拟题2020届高三模拟题题组一一、选择题1（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）函数的零点所在的区间是（ ）（A）（0，1） （B）（1，10） （C）（10，100） （D）（100，+）答案 B.2. （广西北海二中2020届高三12月月考试题理）已知等比数列中，公比，且为数列的前项和，则等于 （ ）A6B C D答案 B.3（黑龙江大庆实验中学2020届高三上学期期中考试理）设，若函数有大于零的极值点，则（ ）答案 B.4（浙江省杭州市高级中学2020届高三上学期第三次月考理）已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于 ( )A B0 C1 D2答案 A.二、填空题5（浙江省杭州二中2020届高三11月月考试题文）若函数在处取极值，则_答案：3.6（重庆市重庆八中2020届高三第四次月考理）已知函数，在点处连续，则答案 .7（重庆市南开中学高2020级高三1月月考理）若= 。答案 1.三、简答题8（浙江省温州市啸秋中学2020学年第一学期高三会考模拟试卷）已知函数在处取得极值(1)求常数k的值； (2)求函数的单调区间与极值；答案 解：(1)，由于在处取得极值，可求得 2分(2)由(1)可知，随的变化情况如下表：0+0-0+极大值极小值当为增函数，为减函数； 2分极大值为极小值为 2分9（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）（本小题满分14分）已知函数 （1）若函数在区间其中a 0，上存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证.答案 9.解：（）因为， x 0，则，1分 当时，；当时，. 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 3分 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得.5分（）不等式即为 记 所以7分 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 . 9分（3）由（2）知：恒成立，即， 令，则 所以 , ， ， ， 12分 叠加得： .则，所以 14分10（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数，数列满足 （）求数列的通项公式； （）求； （）求证：答案10 11.（黑龙江大庆实验中学2020届高三上学期期中考试理）（本题12分）设函数 （）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；（）若函数在内没有极值点，求的范围；（）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围答案 11. 解：（1）当时，因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根。令，则。因为在和均为减函数，在为增函数，的取值范围 -4分 （2）由题可知，方程在上没有实数根，因为，所以-4分（3），且，函数的递减区间为，递增区间为和；当时，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值为-4分12.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2020届高三第三次模拟理）（12分）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得 成立，求的取值范围。答案 12.设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a 32 得 32 ，因为x 2，所以，即（3x8）（x8） 0从而即AN长的取值范围是8分（2）令y，则y 10分因为当时，y 32 得 32 ，因为x 2，所以，即（3x8）（x8） 0从而即AN长的取值范围是8分（2）令y，则y 10分因为当时，y 0，所以函数y在上为单调递减函数，从而当x3时y取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN3米，AM=9米 156（福建省福州八中2020届高三理）（本小题15分）已知函数f (x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f (x)的解析式； （）求证：对于区间3，2上任意两个自变量的值x1，x2，对于任意一个正实数a都有|f (x1)f (x2)|； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.答案 6. （本小题15分）解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即1分 解得a=1，b=0. f (x)=x33x.3分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，利用导数求得f(x)在区间3，2上的最大值和最小值分别为：fmax(x)=f(1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=184分对于区间3，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(18)=206分由条件可得，当且仅当时，等号成立，即恒成立，对于任意一个正实数a都有|f (x1)f (x2)|.8分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.15分7. (福建省四地六校联考2020届高三理)（本小题满分13分）已知函数（I）若函数在时取到极值，求实数的值；（II）试讨论函数的单调性；（III）当时，在曲线上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由.答案 7、 （ ） 1分（I）函数在时取到极值 解得经检验函数在时取到极小值（不检验扣1分）高/考/资*源*网实数的值2 3分（II）由得或 4分当时， 由得由得函数得单调增区间为 ，单调减区间为 6分当时，同理可得函数得单调增区间为，单调减区间为 8分（II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则即解得或 A,B又线段AB与x轴有公共点， 10分即 又，解得所以当时，存在满足要求的点A、B. 13分题组三一、选择题：1.（四川省成都市2020届高三第三次诊断理科）计算的结果是( )(A)(B)3(C) (D)2【答案】B【解析】因为所以32. (四川省绵阳市2020年4月高三三诊理科试题)=（ C ） （A）-（B）-5（C）（D）03. （四川省雅安市2020届高三第三次诊断性考试理科）已知函数在上连续，则( A ) A2B1C0D14（四川省自贡市2020届高三三诊理科试题）设要使在内连续，则的值为（ C ）A6BCD(x1)(x1)5（四川省南充高中2020届高三4月月考理科试题）已知函数 在点x1处连续，则f1(3)（ C ）A13 B1 C D6.（四川省眉山市2020年4月高三第二次诊断性考试理科）函数在处不连续，且存在，则的值等于（ D ） A B C D7（四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试理科）的值等于（ C ）A B C D二、填空题：M(x,y)0xy8. （四川省成都市2020届高三第三次诊断文科）在平面直角坐标系中定义另一种坐标(“坐标”)如下：在平面直角坐标系中任意一点M(原点除外)，用表示线段OM的长度，用表示以原点O为顶点，以射线Ox为始边，射线OM为终边的角，我们把有序实数对(,)称为点M的“坐标”.有下列命题：“坐标”为(5，)，(5，)的点在平面直角坐标系中不重合；若点M的“坐标”为(2，)，则点M的平面直角坐标为(1，)；一直圆M在平面直角坐标系中的参数方程为(为参数)，则该圆上的点P的“坐标”满足24cos30；点M的“坐标”满足2sin2cos(0,)，则点M到x轴的最短距离为2。其中你认为正确的所有命题的序号是_.【答案】【解析】根据“坐标”的定义，我们可以得到“坐标”(,)与直角坐标系中普通坐标(x,y)的转换关系为：或利用这两个转换公式逐一检验即可知，正确，错误。注：本题中的“坐标”实质上就是新教材中的“极坐标”。9（四川省资阳市2020学年度高三第三次高考模拟理）已知，点表示原点，点（），是向量与向量的夹角，设，则_10（四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试理科）在平面上取定一点，从出发引一条射线，再取定一个长度单位及计算角的正方向，合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点的位置就可以用线段的长度以及从到的角度来确定，有序数对称为点的极坐标，称为点的极径，称为点的极角。在一个极坐标系下，给出下列命题：点的极径为4，极角为；有序数对与表示两个不同点；点关于极点的对称点为圆心在，半径的圆的极坐标方程为；过点垂直极轴的直线方程为。其中真命题序号是 . 11(四川省成都市石室中学2020届高三三诊模拟理科)若，则a+b= 3 。
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