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第一课二阶矩阵与平面向量【考点扫描】1 了解矩阵的相关知识在数学中，把形如，这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母，或者（aij）来表示矩阵，其中i,j分别表示元素所在的行和列。同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.平面上向量的坐标和平面上的点P（x,y）都可以看做是行矩阵，也可以看做是列矩阵.因此我们又称为行向量，称为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y）的坐标写成的形式.当两个矩阵、，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有.2 掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则行矩阵与列矩阵的乘法规则：=二阶矩阵与列向量的乘法规则：=一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算3 理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量左乘一个22矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P（x,y）,那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点.对于平面上的任意一个点（向量）（x,y）,若按照对应法则T，总能对应惟一的一个点（向量），则称T为一个变换，简记为：T：或T：一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：=，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T：=的矩阵形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩阵确定的变换，通常记为TM,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM,的作用下得到一个新的图形.【基础训练】1、 写出方程组变量x,y的系数矩阵.2、已知,，若A=B，求a，b，c，d.3、某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A、B、C送煤的量分别是100万吨、140万吨、160万吨；从乙矿区向城市A、B、C送煤的量分别是300万吨、260万吨、540万吨；把上述结果分别用23矩阵和32矩阵表示.4、分别计算下列乘法运算的结果（1）（2）（3）（4）5、求点A（3，6）在矩阵对应的变换作用下得到的点.6、已知变换=，试将它写成坐标变换的形式.【解题指导】例1、计算：（1） （2）解：（1）原式= （2）原式=点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键例2、已知平面上一个正方形ABCD（顺时针）的四个顶点用矩阵表示为，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面积.解：正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A（0，0）、B（a,c）、C(0,4)、D(b,d),从而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=2，正方形ABCD的面积为8.点评: 根据顶点矩阵写出正方形的顶点的坐标,再利用正方形中的边长相等,对角线相等互相垂直平分等有关数量关系求出a,b,c,d的值和正方形的面积.例3、已知，若A=B，求x，y.解：由矩阵相等的定义得：且解之得：x=y=-1点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.例4、已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式.解：根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则得点评：一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：=，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T：=的矩阵形式. 例5、已知矩阵，若A=BC，求函数在1,2 上的最小值.解: BC=, 又 A=BC，x1,2 当x时，函数在1,2上的最小值为. 当1x2时，函数在1,2上的最小值为.当x1时，函数在1,2上的最小值为点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论. 【本课小结】1. 基础知识：掌握矩阵的相关知识与二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义2. 基本技能：正确地进行二阶矩阵与平面列向量的乘法运算3. 基本思想：灵活运用等价转化、分类讨论、函数与方程的思想解决矩阵问题【能力测试】1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组其中正确的是（ ）A、 B、C、 D、3、计算:=_4、点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是_5、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a，b.6、已知，若A=B，求，.7、设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，i=1，2，j=1，2，且，试求A.8、若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为（1，0），求.9、若点A在矩阵对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A的坐标.10、已知ABO的顶点坐标分别是A（4，2），B（2，4），O（0，0）,计算在变换TM=之下三个顶点ABO的对应点的坐标.11、已知矩阵，若A=BC，求函数在上的最小值.第二课几种常见的平面变换【考点扫描】1理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（）一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：=，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T：=的矩阵形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩阵确定的变换，通常记为TM,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换（）由矩阵M=确定的变换TM称为恒等变换，这时称矩阵M为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（）由矩阵M=或M=确定的变换TM称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M=或M=伸压变换矩阵当M=时确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩,当时伸长,当时压缩.变换TM确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x轴方向伸长或压缩,以为例，对于x轴上方的点向下压缩，对于x轴下方的点向上压缩，对于x轴上的点变换前后原地不动当M=时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,当时伸长,当时压缩在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究（）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有：由矩阵M=确定的变换是关于x轴的轴反射变换，由矩阵M=确定的变换是关于y轴的轴反射变换,由矩阵M=确定的变换是关于原点的中心反射变换由矩阵M=确定的变换是关于直线y=x的轴反射变换学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（）将一个平面图形绕一个定点旋转角得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角叫做旋转角，定点称为旋转中心当旋转中心为原点且逆时针旋转角时旋转变换的变换矩阵为旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定绕定点旋转的变换相当于关于定点作中心反射变换（）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M=，M= ，M=确定的投影变换需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射（）由矩阵M=或确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵以为例，矩阵把平面上的点沿x轴方向平移ky|个单位，当ky时沿x轴正方向移动，当ky时沿x轴负方向移动，当ky时原地不动，切变变换有如下性质：（）x轴上的点是不动点；（）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形;关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x轴的反射再作关于y轴的反射的复合; 绕原点作了角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了角度的旋转变换再绕原点作了角度的旋转变换等等.【基础训练】、已知四边形ABCD的顶点分别为A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四边形ABCD在矩阵变换作用下变成正方形，则（）.、 、2 、3 、2、已知矩阵M1=，M2=，M3=，则由M1，M2，M3确定的变换分别是（ ）A、恒等变换、反射变换、投影变换 B、恒等变换、投影变换、反射变换C、投影变换、反射变换、恒等变换 D、反射变换、恒等变换、投影变换ABCD1-1Oxy1-13、直线x+y=5在矩阵 对应的变换作用下得到的图形是（ ）A、直线x+y=5 B、直线y=5 C、直线x=5 D、点（0，5）4、将向量绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为=_.5、图中正方形ABCD在由矩阵所确定变换的作用后的图形的 面积为_.6、若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=_.【解题指导】例1、求圆C：在矩阵对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型.解：设P(x,y)是圆C：上的任一点,P1是P(x,y) 在矩阵对应的伸压变换下的曲线上的对应点 ,则 即 ,所以代入得 方程表示的曲线为椭圆点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键例、若曲线y=x2（x0）在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x2（x0），求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M对应的反射变换是以y轴为轴的反射变换，所以M点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换如果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵例、若ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到ABC，其中A（0，0），B（1，），C（0，2），A（0，0）， C（-，1），试求矩阵M并求B的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为，则旋转变换矩阵为 故而 设B（x,y）,则点评：逆时针旋转角为时的旋转矩阵为，若顺时针旋转角为时，则将上述矩阵中的换为即可例、已知在矩阵M的作用下点A（1，2）变成了点A（11，5），点B（3，-1）变成了点B（5，1），点C（x，0）变成了点C（y，2），求（1）矩阵M；求（2）x、y值.解： （1）设矩阵M=，解之得，M= （2）由 得 点评：求变换矩阵通常用待定系数法例、给定二阶矩阵M，对任意向量 ，证明： 证明：设， 得证点评：更一般地，可以证明：，其中为任意实数。【本课小结】 基础知识：用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义 基本技能：会根据各种变换矩阵确定已知图形的对应变换之下的图形，会根据两个图形之间的关系求出变换矩阵 基本思想或方法：灵活运用等价转化、函数与方程的思想和待定系数法以及用代入法求曲线方程等方法解决变换问题【能力测试】、点（，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（-2,-4），则m、k的值分别为（）A、，B、，C、，D、，、设T是以 ox 轴为轴的反射变换，则变换T的矩阵为（）A、 、 、 、设A是到ox轴的正投影变换，A把点P（x，y）变成点P（x，0），B是到oy轴的正投影变换B把点P（x，y）变成点P（0，y），则变换A和B的矩阵分别为（）.、，、，、，、， 、在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为、曲线在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程为、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90后得到的曲线方程是，变换对应的矩阵是.、已知曲线经过伸压变换T作用后变为新的曲线，试求变换T对应的矩阵M.、求出椭圆 在矩阵作用下变换所得的图形.、设点P的坐标为（，-），T是绕原点逆时针方向旋转 的旋转变换，求旋转变换T对应的矩阵，并求点P在T作用下的象点P的坐标.、已知经过点A（，2），平行于向量的直线l ,考察下列矩阵把直线l变成什么？12-2-1123xyoABAB（1） （2）11、若有一矩阵把右图中ABO变成ABO，其中点A的象点为点A，点B的象点为点B，试求该矩阵.第三课变换的复合与矩阵的乘法【考点扫描】 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法（） 两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：（） 两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C.2. 理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.【基础训练】1.=（ ）A、 B、 C、 D、2.已知矩阵X、M、N,若M=, N=，则下列X中不满足:XM=N,的一个是（ ）A、X= B、X= C、X= D、X=3.已知A=,B=则AB=_,BA=_4.对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A20; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为 5. 设，分别求A2, A3 ,A4, A5.【解题指导】例1、已知矩阵M=和N=（1）求证：MN=NM（2）说明M、N所表示的几何变换，并从几何上说明满足MN=NM解：（1）MN= NM= MN=NM（2）矩阵M所表示的变换是：把坐标平面上点绕原点逆时针旋转；矩阵N所表示的变换是：把坐标平面上点绕原点顺时针旋转（或逆时针旋转）矩阵MN表示的变换是：把坐标平面上点先绕原点顺时针旋转，再把该点绕原点逆时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转；矩阵NM表示的变换是：把坐标平面上点先绕原点逆时针旋转，再把该点绕原点顺时针旋转，即把点绕原点逆时针旋转，矩阵MN和矩阵NM所表示的变换是同一变换，MN=NM点评：（）熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则是进行矩阵乘法的关键，需要指出的是，一般地不一定有MN=NM成立（）矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，同样两个变换的复合在一般情形之下是不可以交换的例、记，其中，作矩阵乘法SA，AS，（1）运算结果有何规律？（2）S与单位矩阵、零矩阵的关系？（3）当k0时，矩阵S对应的变换TS有何几何意义？（4）研究TS与伸压变换的关系？解：（1）由于 运算结果有何规律是：S与任一矩阵A乘积可交换，其结果是将矩阵A的每个元素的同乘以实数k（2）k=1时，S为单位矩阵，k=0时，S为零矩阵（3）由于TS：=TS的几何意义为：以原点为中心作相似比为k的位似变换，将每个点P（x，y）变换到点P（x，y） （4）TS相应于在x轴方向的伸压变换与y轴方向的伸压变换的复合点评：（） 仔细体会两个二阶矩阵乘法可交换的条件。（） 从矩阵乘法的代数运算和几何意义两个不同的方面理解矩阵乘法和变换复合之间的内在联系。（） 复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成。例3、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M，N，它们不满足MN=NM；（2）构造两个不同的矩阵A，B，使等式成立；（3）构造两个不同的矩阵A，B，使等式成立解：（1） 矩阵M表示向x轴压缩为一半的变换矩阵N表示逆时针旋转90的变换，即 ，MNNM（2）将平面内的点沿垂直于y轴方向投影到y=x，即（x，y）变为（y，y）表示的变换为将纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且（y，y）（y+y，y）=（2y，y）表示的变换为将平面内的点纵坐标不变，横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍，即（y，y）（2y，y）原等式成立（3）A对应的变换表示恒等变换，即（x，y）变成(x，y)，对应的变换表示将平面上的点（x，y）垂直投影到y轴，即（x，y）变成（0，y），这样A把点（x，y）变成（0，y）B对应的变换为将平面内的点纵坐标不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的，即（x，y）变为（，y），再在变换作用下将（，y）变成（0，y）原等式成立点评：一般地，把一个矩阵分解为几个矩阵的乘积是不唯一的，同样把一个变换分解为几个变换的复合的分解也是不唯一的。例4、求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A解：在平面上任取一点P（x，y），点P关于y=3x的对称点P（x，y）则有： 解得： A=点评：一般地若过原点的直线m的倾斜角为，则关于直线m的反射变换矩阵为： A=【本课小结】基础知识：掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法运算法则，理解二阶矩阵的乘法的几何意义基本技能：能熟练进行二阶矩阵的乘法运算，能把一些复杂变换转化为六种常见变换的复合，会用复合变换的方法进行图形的变换，基本思想或方法：灵活运用等价转化、函数与方程的思想和待定系数法等方法解决变换复合问题【能力测试】、 计算：_、 =_、 已知，则m= 1 ，n= 0 ，s= 1 、 已知，M=N=,则_,NM=_、 设若M=把直线l：2x+y+7=0变换为自身，则 1 ， -1 、 计算下列矩阵的乘积（） ； （）7、已知A=，试求据此猜想的结果.8、利用矩阵乘法定义证明下列等式 （k0）并说明其几何意义.9、已知中，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M=对应的变换，再作N=对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.10、利用矩阵变换的几何意义，请你构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个不同的矩阵A、B，使成立；（2）构造一个矩阵M（M为非零矩阵），使成立11、在直角坐标系中，l1，l2都经过原点O，倾斜角分别是，设TA，TB分别表示关于直线l1，l2的反射变换求：（1）先TA后TB的复合变换的矩阵BA；（2）先TB后TA的复合变换的矩阵AB；（3）讨论当，满足什么条件时ABBA
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