高三数学同步测试 探索性问题 新课标 人教版

高三数学同步测试 探索性问题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1集合Aa，b，c，集合B1，0，1，f是A到B的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有 （ ）A6个 B7个 C8个 D9个2在ABC中，sinAsinB是AB成立的 （ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3直线与椭圆相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得APB的面积等于3，这样的点P共有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个4设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 （ ）A B C D5PQ是异面直线a，b的公垂线，ab，Aa，Bb，C在线段PQ上（异于P,Q），则DABC 的形状是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D三角形不定6用一张钢板制作一容积为的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是 （ ）A25 B25.5 C26.1 D357计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数,将它转换成十进制形式是123+122+021+120=13，那么将二进制数（1111）2（2020个1）转换成十进制形式是（ ）A220202B220202C220201D2202018数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000项的值是（ ）A42B45C48 D519在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n10的（ ）A第2项B第11项C第20项D第24项10已知集合A=x|x22x30,B=x|x2+ax+b0，若AB=R，AB=（3，4则有（ ）Aa=3,b=4Ba=3,b=4Ca=3,b=4Da=3,b=411不等式0)的解集是 （ ）Ax|x0或x aBx| xa Cx|0xaDx|ax a或0xa12椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点的平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（ ）A30 B45 C60D75二、填空题（本题每小题4分，共16分）13已知定点A(2，),F是椭圆+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，则当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标是.14若(x2)n的 展开式中含x的项为第6项，设(1x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a1+a2+a3+a2n=.15定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_ .16定义集合A和B的运算：. 试写出含有集合运算符号“”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个等式：_. 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17（本小题满分12分）已知函数，且 （1）求的值； （2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为.若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由.18（本小题满分12分）已知函数f(x)=(xa)(xb)(xc)（1）求证：f(x)=(xa)(xb)(xa) (xc)(xb) (xc)；（2）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由19（本小题满分12分）已知奇函数的定义域为全体实数，且当时，问是否存在这样的实数，使得对所有的均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由.20（本小题满分12分）在ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c，且b,a,c成等差数列，bc，已知B(1,0),C(1,0)。 （1）求顶点A的轨迹L； （2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由.21（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；DPBACE （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.22（本小题满分14分）已知数列an中，a1=4，an+1=，是否存在这样的数列bn，bn=，其中A、B、C为实常数，使得bn是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求an的取值范围.参考答案（十五）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C二、填空题（每小题4分，共16分）(13). (2,) ； (14). 255； (15). 3 当n为偶数时，；当n为奇数时， (16).；三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：（1），即， （2）， 当，即时， 当时，这样的不存在。 当，即时，这样的不存在。 综上得， .18. 解：（1） f(x)=(xa)(xb)(xc)3（a+b +)x2(ab+bc+ac)xabc f (x)=3 x22(a+b +)x(ab+bc+ac)= x2 (a+b)xab x2(a+c)xac x2(b+c)xbc=(xa)(xb)(xa)(xc)(xb)(xc)（2）f(x)是R上的单调函数，f (x)0，对xR恒成立，即 3x22(a+b+c)x+(ab+bc+ca)0 对xR恒成立0, 4(a+b+c)212(ab+bc+ca) 0， (ab)2(ac）2 (bc)20， a=b=cf(x)=(xa)3 ， f(x)关于点(a，0)对称 证明如下：设点P(x，y)是f(x)=(xa)3图像上的任意一点，y=(xa)3，点P关于点(a，0)对称的点P(2ax，y)，(2axa)3=(2ax)3= (x2a)3=y ，点P在函数f(x)=(xa)3的图像上，即函数f(x)=(xa)3关于点(a，0)对称19. 解：因为在R上为奇函数，又在上是增函数所以在R上也是增函数，且 因为所以 故 要使不等式对任意恒成立，只要大于函数的最大值即可。 令，则求函数的最大值，方法1（求导）解得：，因当，时，；当时，故 ，因此 方法2（判别式）把函数变形为 设，即在上有解当时，必须且，矛盾；当时，或 或或 此时；当时，必须且，矛盾；方法3（不等式） ，此时 20. 解：（1）由题设知b+c=2a，|BC|=2, |AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又bc，故由椭圆的定义知，点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点），轨迹方程为：+=1（2x0）。（2）假设存在直线m满足题意，当m斜率存在时，设m的方程为y=k(x+1)，把它代入椭圆方程，消去y得(4k2+3)x2+8k2x12+4k2=0。设P(x1,y1)Q(x2,y2)，则x1+x2= ，x1x2=，又x10,x20，即x1x20, k23，|PQ|=设原点O到直线m的距离为d，则d=,|PQ|=,=，得k2=3，这与k23矛盾，表明直线m不存在。当斜率不存在时，m的方程为x= 1，此时|PQ|=|y1y2|=3,d=1，|PQ|，所以不满足题设。综上，满足题设的条件不存在。21.证明： 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.22.解：假设这样的bn存在，则应有bn+1= bn=存在q0,q1,q为常数，使bn+1=qbn,对nN都成立，于是比较两边的分子和分母，有由（1）可解得A=1或2，由（2）、（3）可解得B=C或C=2B。1若代入（2）知q=1（B、C不能为0，否则bn=0，不合题意要求）舍去。2若代入（2）得q=3当时，q=4当时，q=1（舍去）故现只取A=1，B=1，C=2，q=（不必考虑时的情况，因为只证存在性）。得bn=所以满足题设条件的数列存在.