高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案

课题：函数的极限和连续性教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时， 如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有. 存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若函数在上连续，则方程至少有一根在区间内；若函数在上连续且单调，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析： 问题1求下列函数的极限：； ；();（广东） （陕西） 问题2若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数，点问题4已知 ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数在上连续且单调递增，则实数 问题5已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业： 已知，求的值.若（、为常数），则 ； 已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是 （济南一模）设是一个一元三次函数且，则 设函数在处连续，且，则 （四）走向高考： （江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，则 （四川） （江西） 等于 等于 等于 不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则 （全国）已知数列的通项，其前项和为，则 （湖南）下列四个命题中，不正确的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则yxO（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形当时，这些三角形的面积之和的极限为 （江西）已知函数在区间内连续，且求实数和的值；解不等式（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.