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【专题六】探索性问题【考情分析】高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.【知识交汇】随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注“探索性问题” 由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现。探索型问题具有较强的综合性，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力高考常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题 【思想方法】一、条件追溯型【例1】（2020年高考浙江卷理科第17题）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD平面ABC,在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.。m 【例2】如图，在平面直角坐标系中，设的外接圆圆心为E（1）若E与直线CD相切，求实数a的值；（例2） ABCDExyO（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在，求出E的标准方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）直线方程为，圆心，半径.由题意得，解得.（2），当面积为时，点到直线的距离为，又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，此时，E的标准方程为评注：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。二、结论探索型【例3】（2020年高考江苏卷第14题）设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= .高考资源网解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9【例4】（2020年高考湖北卷理科第15题）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5评注：这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。三、存在判断型【例5】（2020年高考北京卷文科第20题）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，. .（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. 评注： 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。【专题演练】1已知函数的图象按向量平移后便得到函数的图象，数列满足（n2，nN*）（）若，数列满足，求证：数列是等差数列； （）若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由； 2. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。()求证：；()若函数在区间上单调递增，求的取值范围；()问是否存在实数（是与无关的常数），当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由。3.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？4. 如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，点且（）证明：；（）若，当为何值时，5有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。（1） 写出车距d关于车速v的函数关系式;（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【参考答案】1. 解:，则（n2，nN*） （）， （n2，nN*）数列是等差数列 （）由（）知，数列是等差数列，首项，公差为1，则其通项公式，由得，故构造函数，则函数在区间， 上为减函数当时，且在上递减，故当时，取最小值；当 时，且在上递减，故当时，取最大值故存在2. 解：() .由题设，得 ，。由代入得，得或 将代入中，得 由、得；方法二：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以，因为图象的开口向下，且有一根为x1=1。由韦达定理得,。,所以，即，则，由 得：， ()由()知，的判别式=方程有两个不等的实根，又,，当或时，当时，函数的单调增区间是，由知。函数在区间上单调递增，即的取值范围是；()由，即，或。由题意，得，存在实数满足条件，即的最小值为。3. 解：（1）由题意可知，当时，即，每件产品的销售价格为元.2020年的利润 （2）时，.，当且仅当，即时，.答：该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.4. 证：()因为，所以为等腰直角三角形，所以 因为是一个长方体，所以，而，所以，所以因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得 () 当时，当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以,而，与在同一个平面内，所以而，所以，所以 方法二： ，所以，设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为 若要使得，则要，即，解得所以当时，5.【解析】因为当时，所以， 设每小时通过的车辆为，则即，当且仅当，即时，取最大值答：当时，大桥每小时通过的车辆最多
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