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第七章 不等式第一部分 三年高考荟萃2011年高考题一、选择题1.（重庆理7）已知a0，b0，a+b=2，则y=的最小值是A B4 C D5【答案】C2.（浙江理5）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是A14 B16 C17 D19【答案】B3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A B C D【答案】A4.（江西理2）若集合，则 A B C D【答案】B5.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是（A），2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）【答案】D6.（湖南理7）设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为A（1，） B（，） C（1,3 ） D（3，）【答案】A7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且ab若x,y满足不等式，则z的取值范围为A-2，2 B-2，3 C-3，2 D-3，3【答案】D8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ABC4 D3【答案】C9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=A4650元 B4700元 C4900元 D5000元【答案】C【解析】由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数10.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是A-10 B01 C02 D-12【答案】C11.（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为（A）1，1 （B）2，2 （C） 1，2 （D） 2，1【答案】B12.（上海理15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A B CD D【答案】二、填空题13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。【答案】200014.（浙江理16）设为实数，若则的最大值是 。【答案】15.（全国新课标理13）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_【答案】-6 16.（上海理4）不等式的解为 。【答案】或17.（广东理9）不等式的解集是 【答案】18.（江苏14）设集合, , 若则实数m的取值范围是_【答案】三、解答题19.（安徽理19） （）设证明，（），证明.本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.证明：（I）由于，所以将上式中的右式减左式，得从而所要证明的不等式成立.（II）设由对数的换底公式得于是，所要证明的不等式即为其中故由（I）立知所要证明的不等式成立.20.（湖北理17） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）解：（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。21.（湖北理21） （）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若，则；（2）若=1，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分） 解：（I）的定义域为，令 当在（0，1）内是增函数； 当时，内是减函数； 故函数处取得最大值 （II）（1）由（I）知，当时， 有 ，从而有， 得， 求和得 即 （2）先证 令 则于是 由（1）得，即 再证 记， 则， 于是由（1）得 即 综合，（2）得证。2020年高考题一、选择题1.（2020上海文）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （ ）（A）1. （B）. （C）2. （D）3.答案 C解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为22.（2020浙江理）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2答案 C解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题3.（2020全国卷2理）（5）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2x1或x3，故选C4.（2020全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为（A）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，即为（1，1），当时5.（2020全国卷2文）（2）不等式0的解集为（A） （B） （C） （D）【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ， ，故选A6.（2020江西理）3.不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。7.（2020安徽文）（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8答案 C【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.8.（2020重庆文）（7）设变量满足约束条件则的最大值为（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大由B（2,2）知4解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题10.（2020重庆理数）（7）已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A.3 B.4 C. D. 答案 B解析：考察均值不等式，整理得 即，又， 11.（2020重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值612.（2020北京理）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案：A13.（2020四川理）（12）设，则的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解析： 0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案：By0x70488070(15,55)14.（2020四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案：B 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.15.（2020天津文）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）2【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.16.（2020福建文）17.（2020全国卷1文）（10）设则（A）（B） (C) (D) 答案C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca,综上cab.【解析2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，cab18.（2020全国卷1文）(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1答案B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.xAL0A【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.19.（2020全国卷1理）（8）设a=2,b=ln2,c=,则（A） abc （B）bca （C） cab （D） cba20.（2020全国卷1理）21.（2020四川文）（11）设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答案：D解析：224 当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.22.（2020四川文）y0x70488070(15,55)（8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案：B解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.23.（2020山东理）24.（2020福建理）8设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A B4 C D2【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。二、填空题1.（2020上海文）2.不等式的解集是 。【答案】解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x0,b0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。【答案】CD DE【解析】在RtADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.17.（2020江苏卷）12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。【答案】 27【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。三、解答题1.（2020广东理）19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。 可行域为12 x+8 y 646 x+6 y 426 x+10 y 54x0， xN y0， yN 即3 x+2 y 16 x+ y 73 x+5 y 27x0， xN y0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.54+43=22元2.（2020广东文）19.（本题满分12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知： 画出可行域：变换目标函数：3.（2020湖北理）15.设a0,b0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。【答案】CD DE【解析】在RtADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.2020年高考题第一节 简单不等式及其解法一、选择题1.（2020安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 A.p:b+d , q:b且cd B.p:a1,b1 q:的图像不过第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a1, q: 在上为增函数 答案 A解析 由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A。2.（2020安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 A解析 易得时必有.若时，则可能有，选A。3.（2020四川卷文）已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 即由“”“”4.（2020天津卷理）,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，则A. B. C. D.答案 C5.（2020四川卷理）已知为实数，且。则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）答案 B解析 推不出；但，故选择B。解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。6.（2020重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）AB C D答案 A解析 因为对任意x恒成立，所以二、填空题7.（2020年上海卷理）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_ . 答案 解析 依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： 三、解答题8.（2020江苏卷）(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。(1)当时，, = （2）当时，由，故当即时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。（3）（方法一）由（2）知：=由得：， 令则，即：。同理，由得：另一方面，当且仅当，即=时，取等号。所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。 第二节 基本不等式一、 选择题 1.（2020天津卷理）设若的最小值为 A . 8 B . 4 C. 1 D. 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。答案 C解析 因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C2.（2020重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5答案 C解析 因为当且仅当，且 ，即时，取“=”号。二、填空题 3.（2020湖南卷文）若，则的最小值为 .答案 2解析 ，当且仅当时取等号.三、解答题4.（2020湖北卷文）（本小题满分12分） 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（）将y表示为x的函数： （）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ (II).当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 第三节 不等式组与简单的线性规划一、选择题x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1. (2020山东卷理)设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.2.（2020安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 A. B. C. D. 答案 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 3.（2020安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于A. B.C. D.解析 由可得，故阴 =，选C。答案 C4.（2020四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元答案 D（3，4）（0，6）O（，0）913解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D5.（2020宁夏海南卷理）设x,y满足A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值答案 B解析 画出可行域可知，当过点（2，0）时，但无最大值。选B.6.（2020宁夏海南卷文）设满足则A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B7.(2020湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内 的弧长为 BA . B. C. D. 答案 B解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。8.（2020天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.23答案 B【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析 画出不等式表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。 9.（2020四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析 设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大 值，可求出最优解为，故，故选 择D。10.（2020福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.二、填空题11.（2020浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划，可知直线过点时，12.（2020浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小是 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求解析 通过画出其线性规划，可知直线过点时，13.（2020北京文）若实数满足则的最大值为 .答案 9解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时，为最大值. 故应填9.14.（2020北京卷理）若实数满足则的最小值为_.答案 解析 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时， 为最小值.故应填.15.(2020山东卷理)不等式的解集为 . 答案 解析 原不等式等价于不等式组或或不等式组无解,由得,由得,综上得,所以原不等式的解集为. 16.(2020山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. 答案 2300解析 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 17.（2020上海卷文） 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_. 答案 9解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3269。第二部分 两年模拟题2020届高三模拟题题组一一、 选择题1. （福建省厦门外国语学校2020届高三11月月考理）已知满足约束条件，则的最小值是（ ） A15 B18 C26 D20答案 B.2（甘肃省天水一中2020届高三上学期第三次月考试题理）设满足约束条件：，则的最小值为（）A6 B 答案 B.3、（河南省辉县市第一中学2020届高三11月月考理）若，则A BCD答案 D.4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2020届高三12月月考）不等式的解集为( )A. B.C. D.答案 C.5.（河南省辉县市第一中学2020届高三11月月考理）设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D， P（）为D内的一个动点，则目标函数的最小值为（A） （B） （C）0 （D）答案 B.6（广东省惠州三中2020届高三上学期第三次考试理）不等式的解集为,则函数的图象为（ ）答案 C.7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2020届高三12月月考）不等式的解集为( )A. B.C. D.答案 C.8（湖北省南漳县一中2020年高三第四次月考文）已知0ab C (lga)2(lgb)2 D()a0,则不等式的解集为 答案 15.（湖南省长沙市第一中学2020届高三第五次月考理）已知函数f(x)|x2|，若a0，且a，bR，都有不等式|ab|ab|a|f(x)成立，则实数x的取值范围是 .答案 0,4.解：|ab|ab|a|f(x)及a0得f(x)恒成立，而2，则f(x)2，从而|x2|2，解得0x4.16（宁夏银川一中2020届高三第五次月考试题全解全析理） 已知实数的最小值为 【答案】。【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取得最小值。【考点】不等式。【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。三、 解答题17.（河南省辉县市第一中学2020届高三11月月考理）(本题13分)已知函数为奇函数。(1)求并写出函数的单调区间； (2)解不等式答案 14.18（河南省长葛第三实验高中2020届高三期中考试理）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 （I）已知都是正实数，求证：；（II）设函数，解不等式答案 （1）证明：（），又， （5分）法二：，又，展开得，移项，整理得 （5分）不等式选讲解：（法一）令y=|2x+1|-|x-4|，则y=2分作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线的交点为和 4分所以的解集为5分解：（法二）19（宁夏银川一中2020届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定（1）当时，求机动车车速的变化范围；（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大【分析】（1）把代入，解这个关于的不等式即可；（2）根据满足的不等式，以最小车距代替，求此时的最值即可。【解析】（1） =av2, v=25, 025时, Q=, 当v=50时Q最大为12分【点评】不等式【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。20（宁夏银川一中2020届高三第五次月考试题全解全析理）选修45：不等式选讲已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于。【解析】（I）原不等式等价于或 3分解，得即不等式的解集为 6分（II） 8分 10分【考点】不等式选讲【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。21. （甘肃省甘谷三中2020届高三第三次检测试题）(12分)已知函数满足且对于任意, 恒有成立. (1) 求实数的值; (2) 解不等式.答案 （1） 由知, 又恒成立, 有恒成立,故 将式代入上式得:, 即故 即, 代入 得, （2） 即 解得:, 不等式的解集为22.（甘肃省甘谷三中2020届高三第三次检测试题） (12分)已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)23（黑龙江哈九中2020届高三12月月考理）（12分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围答案 （1），令，得或（舍）当时，单调递增；当时，单调递减，是函数在上的最大值（2）对恒成立若即，恒成立由得或设依题意知或在上恒成立都在上递增或，即或（3）由知，令，则当时，于是在上递增；当时，于是在上递减，而，即在上恰有两个不同实根等价于，解得24.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2020届高三第三次模拟理）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f
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