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第八章第八章解析几何第一部分解析几何第一部分三年高考荟萃三年高考荟萃 20202020 年高考题年高考题一、选择题1.（重庆理 8）在圆06222yxyx内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC和 BD，则四边形 ABCD 的面积为A25B210C15 2D220【答案】B2.（浙江理 8）已知椭圆22122:1(0)xyCabab 与双曲线221:14yCx 有公共的焦点，1C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,A B两点， 若1C恰好将线段AB三等分，则A2132a B213a C212b D22b 【答案】C3.（四川理 10）在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x ，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为A( 2, 9)B(0, 5)C(2, 9)D(1, 6)【答案】C【解析】由已知的割线的坐标( 4,114 ),(2,21),2aaKa,设直线方程为(2)yaxb，则223651 (2)ba又2564( 2, 9)(2)yxaxbayaxb 4.（陕西理 2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是A28yx B28yxC24yx D24yx【答案】B5.（山东理 8）已知双曲线22221(0b0)xyaab ， 的两条渐近线均和圆C:22650 xyx相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为A22154xyB22145xyC22136xyD22163xy【答案】A6.（全国新课标理 7）已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB为 C 的实轴长的 2 倍，C 的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）3【答案】B7.（全国大纲理 10）已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，直线24yx与 C 交于 A，B两点则cosAFB=A45B35C35D45【答案】D8.（江西理 9）若曲线1C：2220 xyx与曲线2C：()0y ymxm有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是A （33，33）B （33，0）（0，33）C33，33D （，33）（33，+）【答案】B9.（湖南理 5）设双曲线222109xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为A4B3C2D1【答案】C10.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线22(0)ypx p上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则An=0Bn=1Cn=2Dn3【答案】C11.（福建理 7）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足1122:PFFFPF=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于A1322或B23或 2C12或2D2332或【答案】A12.（北京理 8）设0,0A,4,0B，4,4C t ,4D ttR.记 N t为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N t的值域为A9,10,11B9,10,12C9,11,12D10,11,12【答案】C13.（安徽理 2）双曲线8222 yx的实轴长是（A）2（B） 22（C） 4（D）42【答案】C14.（辽宁理 3）已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（A）34（B）1（C）54（D）74【答案】C15.在极坐标系中，点( ,)到圆2cos的圆心的距离为（A）2(B)249(C)219（D)3答案 D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.【解析】极坐标( ,)化为直角坐标为(2cos,2sin)33，即(1, 3).圆的极坐标方程2cos可化为22 cos，化为直角坐标方程为222xyx，即22(1)1xy，所以圆心坐标为（1,0） ，则由两点间距离公式22(1 1)( 30)3d .故选 D.二、填空题15.（湖北理 14）如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y轴重合）所在的平面为，45xOx。（）已知平面内有一点(2 2,2)P，则点P在平面内的射影P的坐标为；（）已知平面内的曲线C的方程是22(2)220 xy，则曲线C在平面内的射影C的方程是。【答案】 （2，2）22(1)1xy16.（浙江理 17）设12,F F分别为椭圆2213xy的左、右焦点，点,A B在椭圆上，若125F AF B ;则点A的坐标是【答案】(0, 1)17.（上海理 3）设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m。【答案】1618.（江西理 14）若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点（1，12）作圆22+=1xy的切线，切点分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154xy19.（北京理 14）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数) 1(2aa的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积大于21a2。其中，所有正确结论的序号是。【答案】20.（四川理 14）双曲线22xy=1P46436上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点P 到左准线的距离是【答案】565【解析】8,6,10abc，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为 14，所以1455645cdda21.（全国大纲理 15）已知 F1、F2 分别为双曲线 C:29x-227y=1 的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为（2，0） ，AM 为F1AF2的平分线则|AF2| =【答案】622.（辽宁理 13）已知点（2，3）在双曲线 C：)0, 0( 12222babyax上，C 的焦距为 4，则它的离心率为【答案】223.（重庆理 15）设圆 C 位于抛物线22yx与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 C 的半径能取到的最大值为_【答案】6124.（全国新课标理 14） （14） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点12,F F在 x 轴上，离心率为22过点1F的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且2ABF的周长为 16，那么 C 的方程为_【答案】221168xy25.（安徽理 15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点( , )x y为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，三、解答题26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k（1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3）对任意 k0，求证：PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.解： （1）由题设知，),2, 0(),0 , 2(,2, 2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22, 1(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k（2）直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0 ,32(C直线 AC 的斜率为. 032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此（3）解法一：将直线 PA 的方程kxy 代入2222221,421212xyxkk 解得记则)0 ,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk其方程为, 0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk 或因此.于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0 ,(),(, 0, 0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则.设直线 PB， AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上， 所以.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk. 044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此., 11PBPAkk所以27.（安徽理 21）设 ，点A的坐标为（1,1） ，点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程， 平面向量的概念， 性质与运算， 动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由MPQM知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设.)1 (),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则再设),1 ,1 ().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由解得.)1 (,)1 (011yyxx将式代入式，消去0y，得.)1 ()1 (,)1 (2211yxyxx又点 B 在抛物线2xy 上，所以211xy ，再将式代入211xy ，得. 012),1 (, 0. 0)1 ()1 ()1 (2,)1 (2)1 ()1 ()1 (,)1()1 ()1 (22222222yxyxxxyxxyx得两边同除以因故所求点 P 的轨迹方程为. 12 xy28.（北京理 19）已知椭圆22:14xGy.过点（m,0）作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值.（19） （共 14 分）解： （）由已知得, 1, 2ba所以. 322bac所以椭圆 G 的焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3(离心率为.23ace（）由题意知，1|m.当1m时，切线 l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为),23, 1 (),23, 1 (此时3|AB当 m=1 时，同理可得3|AB当1|m时，设切线 l 的方程为),(mxky由0448)41 (. 14),(2222222mkmxkxkyxmxky得设 A、B 两点的坐标分别为),)(,(2211yxyx，则2222122214144,418kmkxxkmkxx又由 l 与圆. 1, 11|,1222222kkmkkmyx即得相切所以212212)()(|yyxxAB41)44(4)41 (64)1 (2222242kmkkmkk.3|342mm由于当3m时，, 3|AB所以), 1 1,(,3|34|2mmmAB.因为, 2|3|343|34|2mmmmAB且当3m时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.29.（福建理 17）已知直线 l：y=x+m，mR。（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；（II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。解法一：（I）依题意，点 P 的坐标为（0，m）因为MPl，所以01120m ，解得 m=2，即点 P 的坐标为（0，2）从而圆的半径22|(20)(02)2 2,rMP故所求圆的方程为22(2)8.xy（II）因为直线l的方程为,yxm所以直线 l的方程为.yxm 由22,4404yxmxxmxy 得244 416(1)mm （1）当1,0m 即时，直线 l与抛物线 C 相切（2）当1m，那0 时，直线 l与抛物线 C 不相切。综上，当 m=1 时，直线 l与抛物线 C 相切；当1m时，直线 l与抛物线 C 不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为22(2).xyr依题意，所求圆与直线:0l xym相切于点 P（0，m） ，则224,|20|,2mrmr 解得2,2 2.mr所以所求圆的方程为22(2)8.xy（II）同解法一。30.（广东理 19）设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程;（2）已知点 M3 5 4 5(,),( 5,0)55F，且 P 为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标（1）解：设 C 的圆心的坐标为( , )x y，由题设条件知2222|(5)(5)| 4,xyxy化简得 L 的方程为221.4xy（2）解：过 M，F 的直线l方程为2(5)yx ，将其代入 L 的方程得21532 5840.xx解得12126 514 56 52 514 5 2 5,(,),(,).515551515xxlLTT故 与 交点为因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故11| 2,MTFTMF22| 2.MTFTMF，若 P 不在直线 MF 上，在MFP中有| 2.MPFPMF故|MPFP只在 T1 点取得最大值 2。31.（湖北理 20）平面内与两定点1(,0)Aa，2( ,0)A a(0)a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（）当1m 时，对应的曲线为1C；对给定的( 1,0) (0,)mU ，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。若存在，求tan1FN2F的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。 （满分 14 分）解： （I）设动点为 M，其坐标为( , )x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa即222()mxymaxa ，又12(,0),( ,0)AaA A的坐标满足222,mxyma故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma当1 ,m 时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在 x 轴上的双曲线。（II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为222;xya当( 1,0)(0,)m 时，C2 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am对于给定的( 1,0)(0,)m ，C1 上存在点000(,)(0)N xyy 使得2|Sm a的充要条件是22200020,0,121| |.2xyayam ym a由得00 |,ya由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m0）的准线与圆（x3）2y216 相切，则p的值为（A）12（B）1（C）2（D）4【答案】 C解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为2px，因为抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，所以2, 423pp法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切与点（-1,0）所以2, 12pp12.（2020 辽宁文） （9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512【答案】D解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac ，2bac220caac，解得512cea.13.13. （20202020 辽宁文辽宁文）（7） 设抛物线28yx的焦点为F， 准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3（B） 8（C）8 3（D） 16【答案】 B解析：选 B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4|8sin30PF14.14.（20202020 辽宁理辽宁理） (9)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则 F（c,0）,B(0,b)直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y=bxa垂直，所以1b bc a ，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以152e或152e（舍去）15.15.（20202020 辽宁理）辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=(A)4 3(B)8(C)8 3(D) 16【答案】B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点 F（2，0） ，直线 AF 的方程为3(2)yx ，所以点( 2,4 3)A 、(6,4 3)P，从而|PF|=6+2=816.16.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文文） （12）已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k =（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B B【 解析 】1122( ,), (,)A x yB xy， 3AFFB ，123yy ，32e ， 设2 ,3at ct，bt， 222440 xyt， 直线 AB 方程为3xsyt。 代入消去x，222(4)2 30systyt，21212222 3,44sttyyy yss ，2222222 32, 344sttyyss ，解得212s ，2k 17.17.（20202020 浙江文浙江文） （10）设 O 为坐标原点，1F,2F是双曲线2222xy1ab（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足1FP2F=60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方程为（A）x3y=0（B）3xy=0（C）x2y=0（D）2xy=0【答案】 D解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题18.18.（20202020 重庆理重庆理） （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D. 双曲线【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B19.19.（20202020 山东文山东文） （9）已知抛物线22(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（A）1x (B)1x (C)2x (D)2x 【答案】B20.20.（20202020 四川理四川理） （9）椭圆22221()xyabab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）2 1,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|22abccc|PF|ac,ac于是2bcac,ac即acc2b2acc2222222accacacacc1112caccaa 或又e(0,1)故e1,12【答案】D21.21.（20202020 天津理）天津理）(5)已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是 y=3x,它的一个焦点在抛物线224yx的准线上，则双曲线的方程为（A）22136108xy（B）221927xy（C）22110836xy（D）221279xy【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知22222369,27bacabca b，所以双曲线的方程为221927xy【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。22.22.（20202020 广东文广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54B.53C.52D.51【答案】B23.23.（20202020 福建文）福建文）11若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为A2B3C6D8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy ，00(,)OPxy ，所以2000(1)OP FPx xy =00(1)OP FPx x 203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x ，因为022x ，所以当02x 时，OP FP 取得最大值222364，选 C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等， 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算能力。24.24.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文文） （8）已知1F、2F为双曲线 C:221xy的左、右焦点，点 P 在 C上，1F P2F=060，则12| |PFPF (A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】.由余弦定理得cos1FP2F=222121212|2|PFPFFFPFPF22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPF PFFFPF PFPF PF12| |PFPF 4【解析 2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPF PFPF PF12| |PFPF 425.25.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）(9)已知1F、2F为双曲线 C:221xy的左、右焦点，点P在 C上，1FP2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)6【答案】 B26.26.（20202020 四川文四川文） （10）椭圆222210 xyaabb的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A） （0，22（B） （0，12（C）21，1）（D）12，1）【答案】D【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|22abccc|PF|ac,ac于是2bcac,ac即acc2b2acc2222222accacacacc1112caccaa 或又e(0,1)故e1,1227.27.（20202020 四川文）四川文）(3)抛物线28yx的焦点到准线的距离是(A) 1(B)2(C)4(D)8【答案】C【解析】由y22px8x知p4又交点到准线的距离就是p21.21.（20202020 湖北文湖北文）9.若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值范围是A.1 2 2,12 2B.12,3C.-1,12 2D.1 2 2,328.28.（20202020 山东理）山东理）(7)由曲线 y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为（A）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230 x -x )dx=（1111-1=3412,故选 A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。29.29.（20202020 安徽理）安徽理）5、双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为A、2,02B、5,02C、6,02D、3,0【答案】C【解析】双曲线的2211,2ab，232c ，62c ，所以右焦点为6,02.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222cab求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式， 很多学生会误认为21b 或22b ，从而得出错误结论.30.30.（20202020 湖北理数湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值范围是A.1,12 2B.1 2 2,12 2C.1 2 2,3D.12,3【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于 2，解得12 212 2bb 或，因为是下半圆故可得12 2b （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确.31.31.（20202020 福建理）福建理）A B CD【答案】C【解析】经分析容易得出正确，故选 C。【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。32.32.（20202020 福建理）福建理）7若点 O 和点( 2,0)F 分别是双曲线2221(a0)axy的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 ()A3-2 3,)B32 3,)C7-,)4D7 ,)4【答案】B【解析】因为( 2,0)F 是已知双曲线的左焦点，所以214a ，即23a ，所以双曲线方程 为2213xy， 设 点P00(,)xy， 则 有220001(3)3xyx， 解 得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy ，00(,)OPxy ，所以2000(2)OP FPx xy =00(2)x x 2013x 2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x ，因为03x ，所以当03x 时，OP FP 取得最小值432 313 32 3，故OP FP 的取值范围是32 3,)，选 B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等， 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算能力。33.33.（20202020 福建理数）福建理数）2以抛物线24yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A22x +y +2x=0B22x +y +x=0C22x +y -x=0D22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0） ，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1) +y =1（，即22x -2x+y =0，选 D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。二、填空题二、填空题34.34.（20202020 上海文上海文）7.圆22:2440C xyxy的圆心到直线3440 xy的距离d 。【答案】3解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440 xy距离为354241335.35.（20202020 湖南文）湖南文）14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为（a，b） ， （3-b，3-a） ，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为,圆（x-2）2+（y-3）2=1 关于直线对称的圆的方程为【答案】-136.36.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理理） （16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为 圆M与 圆N的 公 共 弦 ，4AB 若3OMON， 则 两 圆 圆 心 的 距 离MN【答案】3【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图，4AB ，所以22ABOER2 32，ME= 3，由球的截面性质，有OMME,ONNE，3OMON， 所以MEO与NEO全等， 所以 MN 被 OE 垂直平分， 在直角三角形中，由面积相等，可得，ME MOMN=23OE37.37.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文文） （16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB ， 若3OMON， 则 两 圆 圆 心 的 距 离MN 。【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为7，小圆 N中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB， NE=3，同理可得3ME ，在直角三角形 ONE 中， NE=3，ON=3，6EON，3MON， MN=338.38.（20202020 山东文山东文） 已知圆 C 过点（1,0） ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：1yx被该圆所截得的弦长为2 2，则圆 C 的标准方程为.答案：OMNEAB39.39.（20202020 四川理四川理） （14）直线250 xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为 22圆心到直线250 xy的距离为d22|005|51( 2) 故2| AB| 得|AB|2 3答案：2 340.40. （2022020 0 天津文天津文）（14） 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点， 且圆 C 与直线 x+y+3=0相切。则圆 C 的方程为。【答案】22(1)2xy本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令 y=0 得 x=-1，所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即| 1 03|22r ，所以圆 C的方程为22(1)2xy【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。41.41. （20202020 广东理广东理） 12.已知圆心在 x 轴上， 半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧， 且与直线 x+y=0相切，则圆 O 的方程是1222(5)5xy设圆心为( ,0)(0)aa ，则22|2 0|512ar ，解得5a 42.42.（20202020 四川文）四川文）(14)直线250 xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB.【答案】2 3解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为 22圆心到直线250 xy的距离为d22|005|51( 2) 故2| AB| 得|AB|2 343.43.（20202020 山东理）山东理）【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22|a-1|() +2=(a-1)2，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0） ，因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。44.44.（20202020 湖南理）湖南理）45.（20202020 江苏卷）江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆422 yx上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，| |113c，c的取值范围是（-13，13） 。46.46.（20202020 上海文上海文）8.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20 x的距离相等，则P的轨迹方程为。【答案】y28x【解析】考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为y28x47.47.（20202020 浙江理浙江理） （13）设抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_。【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点 B 到抛物线准线的距离为324，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题48.48.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理理） （15）已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB ，则p 【答案】2【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过 B 作 BE 垂直于准线l于 E，AMMB ，M 为中点，1BMAB2，又斜率为3，0BAE30，1BEAB2，BMBE，M 为抛物线的焦点，p 2.49.49.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质设直线 AB：33yx， 代入22ypx得23( 62 )30 xp x ， 又AMMB ，122xp，解得24120pP，解得2,6pp （舍去）50.50.（20202020 江西理江西理）15.点00()A xy，在双曲线221432xy的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于02x，则0 x=【答案】 2【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 a=2.c=6,red3rd,200023()2axxxc51.51.（20202020 安徽文）安徽文）(12)抛物线28yx的焦点坐标是答案：(2,0)【解析】抛物线28yx，所以4p ，所以焦点(2,0).【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点( ,0)p，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.52.52.（20202020 重庆文重庆文） （13）已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF ，则BF _ .【答案】 2解析：由抛物线的定义可知12AFAAKFABx 轴故AF BF 253.53.（20202020 重庆理重庆理）(14)已知以 F 为焦点的抛物线24yx上的两点 A、B 满足3AFFB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为_.解析：设 BF=m,由抛物线的定义知mBBmAA11,3ABC中，AC=2m,AB=4m,3ABk直线 AB 方程为) 1(3xy与抛物线方程联立消 y 得031032xx所以 AB 中点到准线距离为381351221 xx54.54.（20202020 北京文北京文） （13）已知双曲线22221xyab的离心率为 2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。答案：(4,0)30 xy55.55.（20202020 北京理北京理） （13）已知双曲线22221xyab的离心率为 2，焦点与椭圆221259的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。【答案】 （4，0）30 xy 56.56. （20202020 天津文天津文）（13） 已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为。【答案】221412xy【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知3ba因为抛物线的焦点为（4，0） ，所以 c=4又222cab联立，解得224,12ab，所以双曲线的方程为221412xy【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。57.57.（20202020 福建文数）福建文数）13 若双曲线2x4-22yb=1(b0)的渐近线方程式为 y=1x2，则等于。【答案】1【解析】由题意知122b，解得 b=1。【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。58.58. （20202020 全国卷全国卷 1 1 文数文数） (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D， 且BF2FDuu ruur，则C的离心率为.【答案】33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图，22|BFbca,作1DDy轴于点 D1,则由BF2FDuu ruur，得1|2|3OFBFDDBD,所以133|22DDOFc,即32Dcx ,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由| 2|BFFD,得232,caaa33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,D xy，F 分 BD 所成的比为 2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，代入222291144cbab，33e59.59.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）60.60.（20202020 湖北文）湖北文）15.已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,F F,点00(,)P xy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_， 直线0012x xy y与椭圆 C 的公共点个数_。【答案】2,2 2 ,0【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时12max(|)2 PFPF，当 P 在椭圆顶点处时，取到12max(|)PFPF为( 21)( 21) =2 2 ，故范围为2,2 2.因为00(,)xy在椭圆2212xy的内部，则直线0012x xy y上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0个.61.61.（20202020 江苏卷江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线112422yx上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是_【解析】 考查双曲线的定义。422MFed，d为点 M 到右准线1x 的距离，d=2， MF=4。三、解答题三、解答题62.62.（20202020 上海文）上海文）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小小题满分题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. .已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，(0, )Ab、(0,)Bb和( ,0)Q a为的三个顶点.（1）若点M满足1()2AMAQAB ，求点M的坐标；（2）设直线11:lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线22:lyk x于点E.若2122bkka ，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ 12PPPPPQ ？令10a ，5b ，点P的坐标是（-8，-1） ，若椭圆上的点1P、2P满足12PPPPPQ ，求点1P、2P的坐标.解析：(1)(,)22abM；(2) 由方程组122221yk xpxyab，消y得方程2222222211()2()0a kbxa k pxapb，因为直线11:lyk xp交椭圆于C、D两点，所以0，即222210a kbp，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxa k pxa kbb pyk xpa kb ，由方程组12yk xpyk x，消y得方程(k2k1)xp，又因为2221bka k ，所以2102222112202221a k ppxxkka kbb pyk xya kb ，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上， 所以点F在椭圆内， 可以求得直线OF的斜率k2，由12PPPPPQ 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率2122bka k ，从而得直线l的方程1(1,)2F，直线OF的斜率212k ，直线l的斜率212212bka k ，解方程组22112110025yxxy，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)63.63.（20202020 湖南文）湖南文）19.（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 4） 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。（I）求考察区域边界曲线的方程：（II）如图 4 所示，设线段12PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？64.64.（20202020 浙江理）浙江理）(21) （本题满分 15 分）已知m1，直线2:02ml xmy，椭圆222:1xCym，1,2F F分别为椭圆C的左、右焦点.（）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（）设直线l与椭圆C交于,A B两点，12AFFV，12BFFV的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（）解：因为直线: l202mxmy经过22(1,0)Fm ，所以2212mm ,得22m ，又因为1m ，所以2m ，故直线l的方程为22202xy。（）解：设1122( ,), (,)A x yB xy。由222221mxmyxym，消去x得222104mymy 则由2228(1)804mmm ，知28m ，且有212121,282mmyyy y 。由于12(,0),( ,0),FcF c，故O为12FF的中点，由2,2AGGO BHHO ，可知1121(,), (,),3333xyxyGh2221212()()99xxyyGH设M是GH的中点，则1212(,)66xxyyM，由题意可知2,MOGH即222212121212()()4()() 6699xxyyxxyy即12120 x xy y而2212121212()()22mmx xy ymymyy y221(1 ()82mm）所以21082m即24m 又因为1m 且0 所以12m。所以m的取值范围是(1,2)。65.65.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理理） （21） （本小题满分 12 分）己知斜率为 1 的直线l与双曲线C：2222100 xyabab ， 相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目， 命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.66.66.（20202020 陕西文陕西文） （本小题满分 13 分）（）求椭圆 C 的方程；()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交于A,B 两点的直线立？若存在，求出直线 l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。67.67.（20202020 辽宁文辽宁文） （20） （本小题满分 12 分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为2 3.（）求椭圆C的焦距；（）如果222AFF B ,求椭圆C的方程.解： （）设焦距为2c，由已知可得1F到直线l的距离32 3,2.cc故所以椭圆C的焦距为 4.（）设112212( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4 330.1yxabyb ybxyab得解得221222223(22 )3(22 ),.33babayyabab因为22122,2.AFF Byy 所以即2222223(22 )3(22 )2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy68.68.（20202020 辽宁理）辽宁理）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB .(I)求椭圆 C 的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程.解：设1122( ,), (,)A x yB xy，由题意知1y0，2y0.（）直线 l 的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2 330abyb cyb解得221222223(2 )3(2 ),33b cab cayyabab因为2AFFB ，所以122yy.即2222223(2 )3(2 )233b cab caabab得离心率23cea.6 分（）因为21113AByy，所以22224 315343abab.由23ca得53ba.所以51544a ，得 a=3，5b .椭圆 C 的方程为22195xy.12 分69.69.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文文） （22） （本小题满分 12 分）已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C：22221(0,0)xyabab相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1.3）（） （）求 C 的离心率；（） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与x 轴相切。【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1）
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