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3.2第5课时 利用向量知识求距离一、选择题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A.B.C.D.答案B解析以、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d.2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是()A5B.C. D8答案C解析解法一：B1C1BC，且B1C1平面A1BCD1，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求过点B1作B1EA1B于E点BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB，B1E平面A1BCD1，在RtA1B1B中，B1E，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为.解法二：以D为原点，、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)设平面A1BCD1的法向量n(a，b，c)，由n，n得n(a，b，c)(x,0,0)ax0，a0，n(a，b，c)(0，12,5)12b5c0，bc，可取n(0,5,12)，(0,0，5)，B1到平面A1BCD1的距离d.3将锐角为60，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60的二面角，则AC与BD间的距离为()A.aB.aC.aD.a答案C解析折起后如图，取BD中点M，则AMBD，CMBD，取AC中点N，则BNAC，DNAC故AC平面BDN，BD平面AMC.连结MN则MNAC且MNBD，MN即为AC与BD间的距离，可求得MNa.4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.B.C.D.答案D解析以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(1,1，1)，显然n0，n0，n也是平面BDC1的法向量，平面AB1D1平面BDC1，其距离为d.5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为BB1的中点，则|MN|的长为()A.a B.aC.a D.a答案A解析设a，b，c，则|a|b|c|a，abbcca 0，由条件知，()()()(2ac)(cab)abc，|22(2abc)2(4|a|2|b|2|c|24ab2acbc)，|a.6二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A.B.C2D.答案C解析如图二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos604，|2.7ABC中，C90，点P在ABC所在平面外，PC17，点P到AC、BC的距离PEPF13，则点P到平面ABC的距离等于()A7 B8C9 D10答案A解析解决本题的关键在于找点P在平面ABC内的射影易知点P在平面ABC内的射影在C的角平分线上8已知夹在两平行平面、内的两条斜线段AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在内的射影的比为35，则、间的距离为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案C解析设、间距离为d，AB、CD在内的射影长分别为3x,5x，由解得d.二、填空题9矩形ABCD中，BCA30，AC20，PA平面ABCD，且PA5，则P到BC的距离为_答案5解析由已知得AB20sin3010，又PA5，PB5.10在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_答案解析解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d.h.11在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_答案解析由已知AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，(2,0，2)(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则，n(1,0,1)，又AB(2,0,0)，d.三、解答题12三棱柱ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求点C到平面AB1D的距离解析(1)证明：取AB1中点M，则，又.2.2()0,2()()|2|20，DMAA1，DMAB.DM平面ABB1A1.DM平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)解：A1BDM，A1BAB1.A1B平面AB1D.是平面AB1D的一个法向量点C到平面AB1D的距离为da.13如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，ABCDa，点M，N分别是BD，AC的中点(1)求证：MNBD；(2)若AB与CD所成的角为60，求MN的长解析(1)证明：由点M，N分别是BD、AC的中点可知，0，()()()，()()，0，0.0，MNBD.(2)证明：()，|2()2(222)a22a2cos60a2a2.所以|a.14如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离解析设、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，ne1e3直线AE与平面间的距离为d.15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解析以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)(1)因为(1,0,1)(1，x，1)0，所以.(2)因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而(1,1，1)，(1,2,0)，(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则，即，从而n(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为h.(3)设平面D1EC的法向量n(a，b，c)(1，x2,0)，(0,2，1)，(0,0,1)由，令b1，c2，a2x，n(2x,1,2)依题意cos，x12(不合题意，舍去)，x22，AE2时，二面角D1ECD的大小为.
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