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选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()Ab24ac0Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0，f(x)为增函数，f(x)3ax22bxc0恒成立，(2b)243ac4b212ac0，b23ac0，解得x2，故选D.3已知函数yf(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2，则该函数的单调递减区间为()A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)答案B解析令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(，24已知函数yxf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()答案C解析当0x1时xf(x)0f(x)1时xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5函数yxsinxcosx，x(，)的单调增区间是()A.和B.和C.和D.和答案A解析yxcosx，当x时，cosx0，当0x0，yxcosx0.6下列命题成立的是()A若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数答案B解析若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)2在(a，b)上的导数为f(x)0存在，但f(x)无单调性，故D错7(2020福建理，11)已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0，g(x)0.8f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，若a0，f(x)0，f(x)，即f(x)在(0，)上是减函数，又0ab，af(b)bf(a)9对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)答案C解析由(x1)f(x)0得f(x)在1，)上单调递增，在(，1上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)f(2)2f(1)故应选C.10(2020江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图像大致为()答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的范围为_答案b2解析若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2，由题意b1或b2.12已知函数f(x)axlnx，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，实数a的取值范围为_答案a1解析由已知a在区间(1，)内恒成立设g(x)，则g(x)0(x1)，g(x)在区间(1，)内单调递减，g(x)g(1)，g(1)1，1在区间(1，)内恒成立，a1.13函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f(x)2x10，得x，函数yln(x2x2)的单调减区间为(，1)14若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_答案3，)解析y3x22ax，由题意知3x22axx在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1，11)，所以f(1)11，f(1)12，即，解得a1，b3.(2)由a1，b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0，解得x3；又令f(x)0，解得1x0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1，0，)上单调递增，在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(，1
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