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2.2第2课时 椭圆的简单几何性质一、选择题1将椭圆C12x2y24上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有()A相等的短轴长B相等的焦距C相等的离心率 D相等的长轴长答案C解析把C1的方程化为标准方程，即C1：1，从而得C2：y21.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上e1e2，故离心率相等，选C.2若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案D解析ABF1为等边三角形，2ba，c2a2b23b2e.3(2020广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C.D.答案B解析本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(两边都除以a2)e或e1(舍)，故选B.4已知椭圆2x2y22的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，则F1BF2的外接圆方程为()Ax2y21 B(x1)2y24Cx2y24 Dx2(y1)24答案A解析椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(0，1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是F1BF2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2y21.5已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A6,10 B6,8C8,10 D16,20答案C解析由题意知a10，b8，设椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，|x0|a10，|y0|b8，点M到椭圆中心的距离d.又因为1，所以y64(1)64x，则d，因为0x100，所以64x64100，所以8d10.6椭圆C1：1和椭圆C2：1(0k0)具有()A相同的长轴 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的离心率答案D解析椭圆1和k(k0)中，不妨设ab，椭圆1的离心率e1，椭圆1(k0)的离心率e2.二、填空题11(2020广东理)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_答案1解析设椭圆G的标准方程为1(ab0)，半焦距为c，则，b2a2c236279，椭圆G的方程为1.12椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_答案2120解析依题知a3，b，c，由椭圆定义得|PF1|PF2|6，|PF1|4，|PF2|2.又|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|2.在F1PF2中，由余弦定理可得cosF1PF2，F1PF2120.13椭圆1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为_答案解析由题意得4cd1d22a，e.14经过椭圆1(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为_答案解析垂直于椭圆长轴的弦所在直线为xc，由，得y2，|y|，故弦长为.三、解答题15已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解析椭圆方程可化为1，m0，m.即a2m，b2，c.由e得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，)16已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程解析由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为1(ab0)由椭圆的对称性知，|B1F|B2F|，又B1FB2F，因此B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|OF|，即bc.又|FA|即ac，且a2b2c2.将以上三式联立，得方程组，解得所求椭圆方程是1.17已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程解析由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.
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